Ensino Superior ⇒ Teoria dos Números Tópico resolvido

[Idocrase]

Mostre que, se [tex3](a,b,c)[/tex3] é uma terna pitagórica, então [tex3]\text{mdc}(a,b)=\text{mdc}(b,c)=\text{mdc}(a,c)[/tex3].

[Xablauu]

Seja d_1 o mdc de a e b.

Então,

a = d_1 .a'
b = d_1 .b'

onde a' e b' são primos entre si.

Colocando na equação pitagórica, teremos:

d_1 ^2 | c² -> d_1 |c

Seja c = d_1 . c'

Logo, a'^2 +b'^2 = c'^2

Onde mdc de a' e b' é 1.

Seja d_2 o mdc entre b' e c'.

a'^2 = c'^2 - b'^2 -> d_2 ^2 | a'^2

d_2 | a'

Dessa forma, temos que d_2, que é divisor de b', também é divisor de a'.

Como o máximo divisor entre a' e b' é 1, então d_2 deve ser 1.

Logo o mdc entre a' e c' é 1. Analogamente para o b', b' e c' tem mdc igual a 1.

Logo a tripla (a', b', c') são primos entre si dois a dois.

Multiplicando todos por d, os mdc's dois a dois serão justamente o d.