Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Ensino Superior ⇒ Teoria dos Números Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Abr 2024
18
16:49
Teoria dos Números
Encontre todas as soluções em inteiros positivos de [tex3]x^2+2y^2=3z^2[/tex3]
-
FelipeMartin
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Abr 2024
18
17:25
Re: Teoria dos Números
seja [tex3]d[/tex3]
o mdc de [tex3]x[/tex3]
e [tex3]y[/tex3]
. Veja que [tex3]x = dx'[/tex3]
e [tex3]y = dy'[/tex3]
[tex3]3z^2 = d^2(x'^2+2y'^2)[/tex3] , ou seja, [tex3]d^2[/tex3] dividirá [tex3]3z^2[/tex3] , a única forma de [tex3]d[/tex3] não dividir [tex3]z[/tex3] é se [tex3]d^2[/tex3] dividir [tex3]3[/tex3] , mas, tirando [tex3]d=1[/tex3] , [tex3]d^2 >3[/tex3] , logo, [tex3]d \vert z^2[/tex3] . Dividamos o problema em dois casos:
[tex3]d \neq 3[/tex3] :
implica que [tex3]d \vert z[/tex3] , então, podemos supor sem perder a generalidade que o mdc entre [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] é [tex3]1[/tex3] , pois todas as outras soluções são obtidas multiplicando a terna [tex3](x,y,z)[/tex3] por um número racional relativamente arbitrário.
Suponhamos neste caso que [tex3]x[/tex3] seja par. Então, [tex3]z[/tex3] será par e [tex3]y[/tex3] será ímpar. Neste casso, a nossa equação [tex3]\mod 4[/tex3] dará: [tex3]0 + 2 \cdot 1 = 0 \mod 4 \iff 2 \equiv 0 \mod 4[/tex3] absurdo. Nestes termos, [tex3]x[/tex3] não pode ser par.
Se [tex3]x[/tex3] for ímpar, [tex3]z[/tex3] será ímpar. Se [tex3]y[/tex3] for par, a nossa expressão [tex3]\mod 4[/tex3] vai dar: [tex3]1 + 0 = 3 \mod 4[/tex3] o que também é um absurdo. Então devemos ter, [tex3]x,y,z[/tex3] todos ímpares.
Logo, se o [tex3]\mdc (x,y) \neq 3[/tex3] , não teremos soluções.
[tex3]d = 3[/tex3]
[tex3]x = 3x'[/tex3] e [tex3]y = 3y'[/tex3] isso implica que [tex3]9x'^2 + 18y'^2 = 3z^2 \iff z^2 = 3x'^2 + 6y'^2 = 3(x'^2 + 2y'^2)[/tex3] , ou seja, [tex3]3 \vert z^2 \implies 3 \vert z[/tex3] . Temos um problema. Imaginemos que tenhamos uma solução da forma [tex3](x,y,z)[/tex3] com [tex3]x = 3x', y=3y'[/tex3] , então, teremos [tex3]z =3z'[/tex3] com [tex3]3z'^2 = x'^2 + 2y'^2[/tex3] o que é a nossa equação original, mas, """""""sabemos que [tex3](x',y',z') \neq 3[/tex3] , logo, não existe essa terna pois recaímos no caso anterior [tex3]d \ne 3[/tex3] .""""""""""
Eis a sua resposta: não temos nenhuma solução pra essa equação além, é claro, de [tex3](x,y,z) = (0,0,0)[/tex3]
encontrei um erro no meu argumento e editei a resposta
[tex3]3z^2 = d^2(x'^2+2y'^2)[/tex3] , ou seja, [tex3]d^2[/tex3] dividirá [tex3]3z^2[/tex3] , a única forma de [tex3]d[/tex3] não dividir [tex3]z[/tex3] é se [tex3]d^2[/tex3] dividir [tex3]3[/tex3] , mas, tirando [tex3]d=1[/tex3] , [tex3]d^2 >3[/tex3] , logo, [tex3]d \vert z^2[/tex3] . Dividamos o problema em dois casos:
[tex3]d \neq 3[/tex3] :
implica que [tex3]d \vert z[/tex3] , então, podemos supor sem perder a generalidade que o mdc entre [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] é [tex3]1[/tex3] , pois todas as outras soluções são obtidas multiplicando a terna [tex3](x,y,z)[/tex3] por um número racional relativamente arbitrário.
Suponhamos neste caso que [tex3]x[/tex3] seja par. Então, [tex3]z[/tex3] será par e [tex3]y[/tex3] será ímpar. Neste casso, a nossa equação [tex3]\mod 4[/tex3] dará: [tex3]0 + 2 \cdot 1 = 0 \mod 4 \iff 2 \equiv 0 \mod 4[/tex3] absurdo. Nestes termos, [tex3]x[/tex3] não pode ser par.
Se [tex3]x[/tex3] for ímpar, [tex3]z[/tex3] será ímpar. Se [tex3]y[/tex3] for par, a nossa expressão [tex3]\mod 4[/tex3] vai dar: [tex3]1 + 0 = 3 \mod 4[/tex3] o que também é um absurdo. Então devemos ter, [tex3]x,y,z[/tex3] todos ímpares.
Logo, se o [tex3]\mdc (x,y) \neq 3[/tex3] , não teremos soluções.
[tex3]d = 3[/tex3]
[tex3]x = 3x'[/tex3] e [tex3]y = 3y'[/tex3] isso implica que [tex3]9x'^2 + 18y'^2 = 3z^2 \iff z^2 = 3x'^2 + 6y'^2 = 3(x'^2 + 2y'^2)[/tex3] , ou seja, [tex3]3 \vert z^2 \implies 3 \vert z[/tex3] . Temos um problema. Imaginemos que tenhamos uma solução da forma [tex3](x,y,z)[/tex3] com [tex3]x = 3x', y=3y'[/tex3] , então, teremos [tex3]z =3z'[/tex3] com [tex3]3z'^2 = x'^2 + 2y'^2[/tex3] o que é a nossa equação original, mas, """""""sabemos que [tex3](x',y',z') \neq 3[/tex3] , logo, não existe essa terna pois recaímos no caso anterior [tex3]d \ne 3[/tex3] .""""""""""
Eis a sua resposta: não temos nenhuma solução pra essa equação além, é claro, de [tex3](x,y,z) = (0,0,0)[/tex3]
encontrei um erro no meu argumento e editei a resposta
Editado pela última vez por FelipeMartin em 18 Abr 2024, 17:34, em um total de 1 vez.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
Abr 2024
18
18:33
Re: Teoria dos Números
Entendi, muito obrigado.FelipeMartin escreveu: ↑18 Abr 2024, 17:25 seja [tex3]d[/tex3] o mdc de [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] . Veja que [tex3]x = dx'[/tex3] e [tex3]y = dy'[/tex3]
[tex3]3z^2 = d^2(x'^2+2y'^2)[/tex3] , ou seja, [tex3]d^2[/tex3] dividirá [tex3]3z^2[/tex3] , a única forma de [tex3]d[/tex3] não dividir [tex3]z[/tex3] é se [tex3]d^2[/tex3] dividir [tex3]3[/tex3] , mas, tirando [tex3]d=1[/tex3] , [tex3]d^2 >3[/tex3] , logo, [tex3]d \vert z^2[/tex3] . Dividamos o problema em dois casos:
[tex3]d \neq 3[/tex3] :
implica que [tex3]d \vert z[/tex3] , então, podemos supor sem perder a generalidade que o mdc entre [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] é [tex3]1[/tex3] , pois todas as outras soluções são obtidas multiplicando a terna [tex3](x,y,z)[/tex3] por um número racional relativamente arbitrário.
Suponhamos neste caso que [tex3]x[/tex3] seja par. Então, [tex3]z[/tex3] será par e [tex3]y[/tex3] será ímpar. Neste casso, a nossa equação [tex3]\mod 4[/tex3] dará: [tex3]0 + 2 \cdot 1 = 0 \mod 4 \iff 2 \equiv 0 \mod 4[/tex3] absurdo. Nestes termos, [tex3]x[/tex3] não pode ser par.
Se [tex3]x[/tex3] for ímpar, [tex3]z[/tex3] será ímpar. Se [tex3]y[/tex3] for par, a nossa expressão [tex3]\mod 4[/tex3] vai dar: [tex3]1 + 0 = 3 \mod 4[/tex3] o que também é um absurdo. Então devemos ter, [tex3]x,y,z[/tex3] todos ímpares.
Logo, se o [tex3]\mdc (x,y) \neq 3[/tex3] , não teremos soluções.
[tex3]d = 3[/tex3]
[tex3]x = 3x'[/tex3] e [tex3]y = 3y'[/tex3] isso implica que [tex3]9x'^2 + 18y'^2 = 3z^2 \iff z^2 = 3x'^2 + 6y'^2 = 3(x'^2 + 2y'^2)[/tex3] , ou seja, [tex3]3 \vert z^2 \implies 3 \vert z[/tex3] . Temos um problema. Imaginemos que tenhamos uma solução da forma [tex3](x,y,z)[/tex3] com [tex3]x = 3x', y=3y'[/tex3] , então, teremos [tex3]z =3z'[/tex3] com [tex3]3z'^2 = x'^2 + 2y'^2[/tex3] o que é a nossa equação original, mas, """""""sabemos que [tex3](x',y',z') \neq 3[/tex3] , logo, não existe essa terna pois recaímos no caso anterior [tex3]d \ne 3[/tex3] .""""""""""
Eis a sua resposta: não temos nenhuma solução pra essa equação além, é claro, de [tex3](x,y,z) = (0,0,0)[/tex3]
encontrei um erro no meu argumento e editei a resposta
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FelipeMartin
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Abr 2024
18
21:25
Re: Teoria dos Números
como vc entendeu, se eu não terminei? kkkkkkk
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FelipeMartin
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Abr 2024
18
21:26
Re: Teoria dos Números
se [tex3](x,y,z)[/tex3]
forem ímpares, temos o [tex3](1,1,1)[/tex3]
por exemplo
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Abr 2024
18
22:05
Re: Teoria dos Números
ok, ignoremos o caso [tex3](0,0,0)[/tex3]
, logo, [tex3]z > 0[/tex3]
e podemos definir [tex3]a = \frac xz[/tex3]
e [tex3]b = \frac yz[/tex3]
.
Queremos:
[tex3]a^2 + 2b^2 = 3[/tex3]
note que temos uma solução evidente: [tex3]a = 1,b=1[/tex3] . Queremos saber se a elipse [tex3]a^2+2b^2=3[/tex3] admite outros pontos racionais. Se ela admitir, pensemos na reta que une esse segundo ponto com [tex3](1,1)[/tex3] . Esta reta terá coeficiente angular de [tex3]m = \frac{b-1}{a-1}[/tex3] , que será racional.
Veja que [tex3]a = 1 + \frac{b-1}m[/tex3] .
[tex3]1 + \frac2m(b-1) + (\frac{b-1}m)^2 + 2b^2 = 3[/tex3] (se [tex3]m=0[/tex3] , teremos [tex3]b=1[/tex3] )
[tex3]2(b+1)m^2+b + 2m-1=0 \implies b(2m^2+1) + 2m^2+2m-1=0 \implies b = \frac{1-2m-2m^2}{2m^2+1}[/tex3]
[tex3]a = 1 + \frac{b-1}m = 1 + \frac{-2-4m}{2m^2+1} = \frac{2m^2-4m-1}{2m^2+1}[/tex3]
Eis ai então a construção das soluções inteiras do seu sistema. Pegue um [tex3]m[/tex3] racional qualquer diferente de zero e aplique nas expressões para [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] . Você obterá um par de racionais [tex3]a,b[/tex3] e quando você multiplicá-los pelo MMC de seus denominadores, obterá uma solução [tex3](x,y,z)[/tex3] pra sua equação. Restrinja [tex3]m[/tex3] para que [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] sejam positivos.
Queremos:
[tex3]a^2 + 2b^2 = 3[/tex3]
note que temos uma solução evidente: [tex3]a = 1,b=1[/tex3] . Queremos saber se a elipse [tex3]a^2+2b^2=3[/tex3] admite outros pontos racionais. Se ela admitir, pensemos na reta que une esse segundo ponto com [tex3](1,1)[/tex3] . Esta reta terá coeficiente angular de [tex3]m = \frac{b-1}{a-1}[/tex3] , que será racional.
Veja que [tex3]a = 1 + \frac{b-1}m[/tex3] .
[tex3]1 + \frac2m(b-1) + (\frac{b-1}m)^2 + 2b^2 = 3[/tex3] (se [tex3]m=0[/tex3] , teremos [tex3]b=1[/tex3] )
[tex3]2(b+1)m^2+b + 2m-1=0 \implies b(2m^2+1) + 2m^2+2m-1=0 \implies b = \frac{1-2m-2m^2}{2m^2+1}[/tex3]
[tex3]a = 1 + \frac{b-1}m = 1 + \frac{-2-4m}{2m^2+1} = \frac{2m^2-4m-1}{2m^2+1}[/tex3]
Eis ai então a construção das soluções inteiras do seu sistema. Pegue um [tex3]m[/tex3] racional qualquer diferente de zero e aplique nas expressões para [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] . Você obterá um par de racionais [tex3]a,b[/tex3] e quando você multiplicá-los pelo MMC de seus denominadores, obterá uma solução [tex3](x,y,z)[/tex3] pra sua equação. Restrinja [tex3]m[/tex3] para que [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] sejam positivos.
Editado pela última vez por FelipeMartin em 18 Abr 2024, 23:14, em um total de 1 vez.
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