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Mensagem não lida por **Idocrase** » 11 Abr 2024, 11:33

Prove que se [tex3](x,y,z)[/tex3] é uma terna pitagórica, então [tex3]x[/tex3] ou [tex3]y[/tex3] ou [tex3]z[/tex3] é múltiplo de [tex3]5[/tex3].

Mensagem não lida por **Idocrase** » 11 Abr 2024, 11:42

Consegui fazer,

Por absurdo, suponha que [tex3]5\nmid x[/tex3] , [tex3]5\nmid y[/tex3] e [tex3]5\nmid z[/tex3] . Então, [tex3]x^2,y^2,z^2\equiv\pm 1(\text{mod}\;5)[/tex3] . Os possíveis valores de [tex3]x^2+y^2[/tex3] são:

[tex3]x^2\equiv1(\text{mod}\;5)[/tex3] e [tex3]y^2\equiv1(\text{mod}\;5)[/tex3] [tex3]\Rightarrow x^2+y^2\equiv2(\text{mod}\;5)[/tex3]
[tex3]x^2\equiv1(\text{mod}\;5)[/tex3] e [tex3]y^2\equiv-1(\text{mod}\;5)[/tex3] [tex3]\Rightarrow x^2+y^2\equiv0(\text{mod}\;5)[/tex3]
[tex3]x^2\equiv-1(\text{mod}\;5)[/tex3] e [tex3]y^2\equiv1(\text{mod}\;5)[/tex3] [tex3]\Rightarrow x^2+y^2\equiv0(\text{mod}\;5)[/tex3]
[tex3]x^2\equiv-1(\text{mod}\;5)[/tex3] e [tex3]y^2\equiv-1(\text{mod}\;5)[/tex3] [tex3]\Rightarrow x^2+y^2\equiv-2(\text{mod}\;5)[/tex3]

Como [tex3]x^2+y^2=z^2[/tex3] , então [tex3]x^2+y^2\equiv0,2[/tex3] ou [tex3]-2(\text{mod}\;5)[/tex3] e [tex3]z^2\equiv\pm 1(\text{mod}\;5)[/tex3] . Contradição. Logo, [tex3]5\mid x[/tex3] ou [tex3]5\mid y[/tex3] ou [tex3]5\mid z[/tex3] .

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