Ensino Superior ⇒ Teoria dos Números Tópico resolvido

[Idocrase]

Prove que se [tex3](x,y,z)[/tex3] é uma terna pitagórica, então [tex3]x[/tex3] ou [tex3]y[/tex3] é múltiplo de [tex3]3[/tex3].

[FelipeMartin]

[tex3]z^2 = x^2+y^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z^2 = x^2+y^2[/tex3]

suponha que [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

e [tex3]y[/tex3]

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[tex3]y[/tex3]

não seja múltiplos de [tex3]3[/tex3]

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[tex3]3[/tex3]

, isso implica que [tex3]x^2 \equiv y^2 \equiv 1 \mod 3[/tex3]

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[tex3]x^2 \equiv y^2 \equiv 1 \mod 3[/tex3]

logo [tex3]z^2 \equiv 1+1 \equiv 2 \mod 3[/tex3]

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[tex3]z^2 \equiv 1+1 \equiv 2 \mod 3[/tex3]

absurdo, pois nenhum quadrado perfeito é [tex3]2 \mod 3[/tex3]

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[tex3]2 \mod 3[/tex3]

.
Logo, ao menos um entre [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

e [tex3]y[/tex3]

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[tex3]y[/tex3]

é divisível por [tex3]3[/tex3]

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[tex3]3[/tex3]

.
Se ambos forem divisíveis por 3, seu mdc não será 1 e portanto poderemos dividir x,y e z por 3 e obtermos uma tripla pitagórica verdadeira (primitiva).
Logo, ou x ou y é divisível por 3 mas não ambos ao mesmo tempo.

[ProfLaplace]

Boa solução!
Só discordo do final.

(x,y,z)=(9,12,15) é uma terna pitagórica com x e y múltiplos de 3. O enunciado não falou nada sobre o mdc(x,y) precisar ser 1.
Então o "ou" do enunciado teria a interpretação usual de "ou inclusivo" (um, outro, ou ambos).