Ensino Superior ⇒ Diva Flaming. Cap. 7.8 - Exercício 6 Tópico resolvido

[magben]

Calcule [tex3]\iint_R \sqrt{x^2+y^2}dxdy[/tex3]

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[tex3]\iint_R \sqrt{x^2+y^2}dxdy[/tex3]

, sendo R a região delimitada por [tex3]x^2+y^2=1[/tex3]

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[tex3]x^2+y^2=1[/tex3]

e [tex3]x^2+y^2=9[/tex3]

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[tex3]x^2+y^2=9[/tex3]

Resposta

---

[tex3]\frac{52\pi }{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{52\pi }{3}[/tex3]

[παθμ]

magben,

Notando que [tex3]\sqrt{x^2+y^2}=r,[/tex3]

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[tex3]\sqrt{x^2+y^2}=r,[/tex3]

é muito mais conveniente resolver o problema em coordenadas polares. A região em questão é a coroa circular de raio interno [tex3]r_i=1[/tex3]

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[tex3]r_i=1[/tex3]

e externo [tex3]r_e=3.[/tex3]

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[tex3]r_e=3.[/tex3]

Como [tex3]dx \; dy[/tex3]

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[tex3]dx \; dy[/tex3]

é o diferencial de área em coordenadas cartesianas, para transformar em polares basta substituir por [tex3]r \; dr \; d\theta.[/tex3]

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[tex3]r \; dr \; d\theta.[/tex3]

[tex3]I=\int_{0}^{2\pi} \int_{1}^{3} r^2 \; dr \; d\theta=2\pi \left(\frac{3^3}{3}-\frac{1^3}{3}\right)=2\pi \cdot \frac{26}{3}=\boxed{\frac{52\pi}{3}}[/tex3]

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[tex3]I=\int_{0}^{2\pi} \int_{1}^{3} r^2 \; dr \; d\theta=2\pi \left(\frac{3^3}{3}-\frac{1^3}{3}\right)=2\pi \cdot \frac{26}{3}=\boxed{\frac{52\pi}{3}}[/tex3]