Ensino Superior ⇒ TEORIA DOS GRUPOS

[geandro2014]

Alguém pode me auxiliar
Verifique se (Z x Z, *) e um grupo, em se definindo a operação assim: (a, b)*(c, d)=(ac, bd+1)

[Idocrase]

Lembre que para ser grupo, a operação [tex3]*[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]*[/tex3]

deve ser associativa, deve possuir elemento neutro [tex3](e_1,e_2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](e_1,e_2)[/tex3]

tal que [tex3](a,b)*(e_1,e_2)=(a,b)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a,b)*(e_1,e_2)=(a,b)[/tex3]

e deve possuir elemento inverso [tex3](a^{-1},b^{-1})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a^{-1},b^{-1})[/tex3]

tal que [tex3](a,b)*(a^{-1},b^{-1})=(e_1,e_2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a,b)*(a^{-1},b^{-1})=(e_1,e_2)[/tex3]

Veja que a associatividade falha:

[tex3](a,b)*[(c,d)*(x,y)]=(a,b)*(cx,dy+1)=(acx,b(dy+1)+1)=(acx,bdy+b+1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a,b)*[(c,d)*(x,y)]=(a,b)*(cx,dy+1)=(acx,b(dy+1)+1)=(acx,bdy+b+1)[/tex3]

[tex3][(a,b)*(c,d)]*(x,y)=(ac,bd+1)*(x,y)=(acx,(bd+1)y+1)=(acx,bdy+y+1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][(a,b)*(c,d)]*(x,y)=(ac,bd+1)*(x,y)=(acx,(bd+1)y+1)=(acx,bdy+y+1)[/tex3]

Logo, [tex3](\mathbb{Z}\times\mathbb{Z},*)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](\mathbb{Z}\times\mathbb{Z},*)[/tex3]

não é um grupo.