Ensino Superior ⇒ Estruturas Algébricas 1 Tópico resolvido

[Idocrase]

Seja [tex3](D,+,\cdot)[/tex3] um domínio e [tex3]a\in D[/tex3], com [tex3]a\neq0[/tex3]. Mostre que a função [tex3]f_a:D\rightarrow D[/tex3], dada por [tex3]f_a(x)=a\cdot x[/tex3] é injetiva.

[Idocrase]

Eu pensei assim, como [tex3]a\neq0[/tex3]

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[tex3]a\neq0[/tex3]

, então dados [tex3]x_1,x_2\in D[/tex3]

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[tex3]x_1,x_2\in D[/tex3]

podemos supor que [tex3]f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow ax_1=ax_2[/tex3]

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[tex3]f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow ax_1=ax_2[/tex3]

e então podemos multiplicar pelo inverso de [tex3]a[/tex3]

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[tex3]a[/tex3]

. Mas nesse caso é correto dizer que além de [tex3]D[/tex3]

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[tex3]D[/tex3]

ser um domínio ele também é um corpo?

[Idocrase]

Conseguir resolver.
Como [tex3]D[/tex3]

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[tex3]D[/tex3]

é um domínio, então [tex3]D[/tex3]

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[tex3]D[/tex3]

é um anel comutativo com unidade.
Como [tex3]a\neq0,\forall a\in D[/tex3]

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[tex3]a\neq0,\forall a\in D[/tex3]

, então todo elemento de [tex3]D[/tex3]

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[tex3]D[/tex3]

é invertível. Logo, [tex3]D[/tex3]

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[tex3]D[/tex3]

é um anel com divisão comutativo, ou seja, [tex3]D[/tex3]

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[tex3]D[/tex3]

é um corpo.

Assim, sejam [tex3]x_1,x_2\in D[/tex3]

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[tex3]x_1,x_2\in D[/tex3]

e suponha que [tex3]f(x_1)=f(x_2)[/tex3]

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[tex3]f(x_1)=f(x_2)[/tex3]

, então [tex3]a\cdot x_1=a\cdot x_2[/tex3]

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[tex3]a\cdot x_1=a\cdot x_2[/tex3]

Como [tex3]a\neq0[/tex3]

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[tex3]a\neq0[/tex3]

, então podemos multiplicar pelo inverso de [tex3]a[/tex3]

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[tex3]a[/tex3]

em ambos os lados:
[tex3]a\cdot x_1=a\cdot x_2\Rightarrow a^{-1}\cdot(a\cdot x_2)=a^{-1}\cdot(a\cdot x_2)\Rightarrow (a^{-1}\cdot a)\cdot x_2=(a^{-1}\cdot a)\cdot x_2\Rightarrow 1\cdot x_1=1\cdot x_2\Rightarrow x_1=x_2[/tex3]

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[tex3]a\cdot x_1=a\cdot x_2\Rightarrow a^{-1}\cdot(a\cdot x_2)=a^{-1}\cdot(a\cdot x_2)\Rightarrow (a^{-1}\cdot a)\cdot x_2=(a^{-1}\cdot a)\cdot x_2\Rightarrow 1\cdot x_1=1\cdot x_2\Rightarrow x_1=x_2[/tex3]

.
Logo, [tex3]f_a[/tex3]

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[tex3]f_a[/tex3]

é injetora.