Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Prof. Caju
Ensino Superior ⇒ Estruturas Algébricas 1 Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Mar 2024
22
21:50
Estruturas Algébricas 1
Seja [tex3](D,+,\cdot)[/tex3] um domínio e [tex3]a\in D[/tex3], com [tex3]a\neq0[/tex3]. Mostre que a função [tex3]f_a:D\rightarrow D[/tex3], dada por [tex3]f_a(x)=a\cdot x[/tex3] é injetiva.
Mar 2024
22
23:03
Re: Estruturas Algébricas 1
Eu pensei assim, como [tex3]a\neq0[/tex3]
, então dados [tex3]x_1,x_2\in D[/tex3]
podemos supor que [tex3]f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow ax_1=ax_2[/tex3]
e então podemos multiplicar pelo inverso de [tex3]a[/tex3]
. Mas nesse caso é correto dizer que além de [tex3]D[/tex3]
ser um domínio ele também é um corpo?
Mar 2024
26
18:19
Re: Estruturas Algébricas 1
Conseguir resolver.
Como [tex3]D[/tex3] é um domínio, então [tex3]D[/tex3] é um anel comutativo com unidade.
Como [tex3]a\neq0,\forall a\in D[/tex3] , então todo elemento de [tex3]D[/tex3] é invertível. Logo, [tex3]D[/tex3] é um anel com divisão comutativo, ou seja, [tex3]D[/tex3] é um corpo.
Assim, sejam [tex3]x_1,x_2\in D[/tex3] e suponha que [tex3]f(x_1)=f(x_2)[/tex3] , então [tex3]a\cdot x_1=a\cdot x_2[/tex3]
Como [tex3]a\neq0[/tex3] , então podemos multiplicar pelo inverso de [tex3]a[/tex3] em ambos os lados:
[tex3]a\cdot x_1=a\cdot x_2\Rightarrow a^{-1}\cdot(a\cdot x_2)=a^{-1}\cdot(a\cdot x_2)\Rightarrow (a^{-1}\cdot a)\cdot x_2=(a^{-1}\cdot a)\cdot x_2\Rightarrow 1\cdot x_1=1\cdot x_2\Rightarrow x_1=x_2[/tex3] .
Logo, [tex3]f_a[/tex3] é injetora.
Como [tex3]D[/tex3] é um domínio, então [tex3]D[/tex3] é um anel comutativo com unidade.
Como [tex3]a\neq0,\forall a\in D[/tex3] , então todo elemento de [tex3]D[/tex3] é invertível. Logo, [tex3]D[/tex3] é um anel com divisão comutativo, ou seja, [tex3]D[/tex3] é um corpo.
Assim, sejam [tex3]x_1,x_2\in D[/tex3] e suponha que [tex3]f(x_1)=f(x_2)[/tex3] , então [tex3]a\cdot x_1=a\cdot x_2[/tex3]
Como [tex3]a\neq0[/tex3] , então podemos multiplicar pelo inverso de [tex3]a[/tex3] em ambos os lados:
[tex3]a\cdot x_1=a\cdot x_2\Rightarrow a^{-1}\cdot(a\cdot x_2)=a^{-1}\cdot(a\cdot x_2)\Rightarrow (a^{-1}\cdot a)\cdot x_2=(a^{-1}\cdot a)\cdot x_2\Rightarrow 1\cdot x_1=1\cdot x_2\Rightarrow x_1=x_2[/tex3] .
Logo, [tex3]f_a[/tex3] é injetora.
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