Ensino Superior ⇒ Dúvida derivadas

[DudaS]

Bom dia, pessoal!
Dessa vez, eu estou só com uma dúvida mesmo.
Pode existir uma função definida em um intervalo (a, b) que seja derivável apenas em um ponto c, com c pertencente a (a, b)? Tipo eu sei que existem funções que não são deriváveis em algum ponto, mas pode acontecer de a função ser derivável em um ponto e ao redor dele ela não ser derivável? Não consegui imaginar uma situação assim.
Desde já agradeço qualquer ajuda!

[ProfLaplace]

Opa, tudo bem?
Existem funções assim sim, mas elas não são tão simples normalmente.
Um exemplo é:

[tex3]f(x)=\begin{cases}
x^2, & \text{se } x \text{ é racional} \\
0, & \text{se } x \text{ é irracional}
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=\begin{cases}
x^2, & \text{se } x \text{ é racional} \\
0, & \text{se } x \text{ é irracional}
\end{cases}[/tex3]

Essa função só é derivável em x=0.

[DudaS]

ProfLaplace, agradeço pela resposta!
Muito interessante essa função. E será que, pra isso acontecer, ao redor do ponto onde ela é derivável ela tem que ser descontínua igual nesse exemplo? Tipo, será que, pra isso acontecer, ela teria que ser descontínua para x diferente de 0 ?
Você sabe se tem algum estudo dessas funções que eu possa usar?
Valeu pela ajuda!!

[FelipeMartin]

DudaS, Para que uma função seja derivável em um ponto, ela deve ser contínua neste ponto. A função apresentada pelo professor é contínua em x=0.