Lim [tex3]\frac{sen(x^2+\frac{1}{x}) - sen(\frac{1}{x})}{x}[/tex3] quando [tex3]x[/tex3] tende a[tex3] 0[/tex3] .
o gabarito do livro diz ser:
Resposta
0
[tex3]sen(x^2 + \frac{1}{x})[/tex3] , usando a propriedade soma do seno (sen(a+b) = sen(a)cos(b)+sen(b)cos(a)), temos:
[tex3]sen(x^2 + \frac{1}{x})[/tex3] = sen(x^2)cos([tex3]\frac{1}{x}[/tex3] )+sen([tex3]\frac{1}{x}[/tex3] )cos(x^2)
temos, então, que:
[tex3]\frac{sen(x^2+\frac{1}{x}) - sen(\frac{1}{x})}{x}[/tex3] = [tex3]\frac{sen(x^2)cos(\frac{1}{x})+sen\frac{1}{x}cos(x^2)-sen\frac{1}{x}}{x}[/tex3]
então:
[tex3]\frac{sen(x^2)cos(\frac{1}{x})+sen(\frac{1}{x})[cos(x^2)-1]}{x}[/tex3] = [tex3]\frac{[cos(x^2)+1]}{[cos(x^2)+1]}[/tex3] ([tex3]\frac{sen(x^2)cos(\frac{1}{x})+sen(\frac{1}{x})[cos(x^2)-1]}{x}[/tex3] ) =
= [tex3]\frac{1}{cos(x^2)+1}[/tex3] *[tex3]\frac{cos(x^2)sen(x^2)cos(\frac{1}{x})+[cos(x^2)+1][cos(x^2)-1]sen\frac{1}{x}}{x}[/tex3] =
= [tex3]\frac{1}{cos(x^2)+1}[/tex3] *[tex3]\frac{cos(x^2)sen(x^2)cos(\frac{1}{x})+[cos^2(x^2)-1]sen(\frac{1}{x})}{x}[/tex3] =
Usando a relação trigonométrica [tex3]sen^2(x)+cos^2(x)=1 [/tex3] :
cos(x^2)sen(x^2)cos([tex3]\frac{1}{x})[/tex3] + [cos(x^2)+1][cos(x^2)-1]sen([tex3]\frac{1}{x})[/tex3]
= [tex3]\frac{1}{cos(x^2)+1}[/tex3] * [tex3]\frac{cos(x^2)sen(x^2)cos(\frac{1}{x})+ sen^2(x^2)sen(\frac{1}{x})}{x}[/tex3] =
= [tex3]\frac{1}{cos(x^2)+1}[/tex3] * [tex3]\frac{sen(x^2)}{x}[/tex3] * [tex3]cos(x^2)cos(\frac{1}{x})[/tex3] + [tex3]\frac{sen^2(x^2)}{x}[/tex3] * sen([tex3]\frac{1}{x})[/tex3]
Usando [tex3]x^2=y[/tex3] temos:
[tex3]\frac{1}{cos(y)+1}[/tex3] * [tex3]\frac{sen(y)}{\sqrt{y}}[/tex3] * [tex3]cos(y)cos\frac{1}{\sqrt{y}}[/tex3] + [tex3]\frac{sen^2(y)}{\sqrt{y}}[/tex3] * [tex3]sen(\frac{1}{\sqrt{y}})[/tex3] =
= [tex3]\frac{1}{cos(y)+1}[/tex3] * [tex3]\frac{sen(y)}{\sqrt{y}}[/tex3] * [tex3]\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}[/tex3] * [tex3]cos(y)cos(\frac{1}{\sqrt{y}}) [/tex3] + [tex3]\frac{sen^2(y)}{\sqrt{y}}[/tex3] * [tex3]\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}[/tex3] * [tex3]sen(\frac{1}{\sqrt{y}})[/tex3] =
= [tex3]\frac{1}{cos(y)+1}[/tex3] * [tex3]\sqrt{y}[/tex3] * [tex3]\frac{sen(y)}{y}[/tex3] * [tex3]cos(y)cos(\frac{1}{\sqrt{y}})[/tex3] + [tex3]\sqrt{y}[/tex3] * [tex3]\frac{sen^2(y)}{y}[/tex3] * [tex3]sen(\frac{1}{\sqrt{y}})[/tex3]
limite da soma é a soma dos limites
lim [tex3]\frac{1}{cos(y)+1}[/tex3] * [tex3]\sqrt{y}[/tex3] * [tex3]\frac{sen(y)}{y}[/tex3] * [tex3]cos(y)cos(\frac{1}{\sqrt{y}})[/tex3] + [tex3]\sqrt{y}[/tex3] * [tex3]\frac{sen^2(y)}{y}[/tex3] * [tex3]sen(\frac{1}{\sqrt{y}})[/tex3] =
= lim [tex3]\frac{1}{cos(y)+1}[/tex3] * [tex3]\sqrt{y}[/tex3] * [tex3]\frac{sen(y)}{y}[/tex3] *[tex3] cos(y)cos(\frac{1}{\sqrt{y}})[/tex3] quando y tende a 0 + lim[tex3]\sqrt{y}[/tex3] * [tex3]\frac{sen^2(y)}{y}[/tex3] * [tex3]sen(\frac{1}{\sqrt{y}})[/tex3] quando y tende a 0 =
limite do produto é o produto dos limites
lim [tex3]\frac{1}{cos(y)+1}[/tex3] quando y tende a 0 * lim [tex3]\sqrt{y}[/tex3] quando y tende a 0 * lim [tex3]\frac{sen(y)}{y}[/tex3] quando y tende a 0 * lim[tex3] cos(y) [/tex3] quando y tende a 0 * lim [tex3]cos(\frac{1}{\sqrt{5}})[/tex3] quando y tende a 0 + lim [tex3]\sqrt{y}[/tex3] quando y tende a 0 * lim [tex3]\frac{sen(y)}{y}[/tex3] quando y tende a 0 * lim [tex3]sen(y)[/tex3] * lim [tex3]sen(\frac{1}{\sqrt{y}})[/tex3] quando y tende a 0
como em ambas as parcelas temos lim [tex3]\sqrt{y}[/tex3], quando y tende a 0, não importa o valor dos outros limites, o produto de ambos os lados da parcela terá resultado 0. Logo, 0+0 = 0.
Está correta a solução?
Agradeço
