Ensino Superior ⇒ Equações diferenciais Tópico resolvido

[JOAODESOUSA]

Resolva o PVI:

[tex3]\begin{cases}
dp/dt=Ap^{\frac{2}{3}} -Bp\\
p(0)=0
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
dp/dt=Ap^{\frac{2}{3}} -Bp\\
p(0)=0
\end{cases}[/tex3]

onde [tex3]AB\neq0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AB\neq0 [/tex3]

. Calcule

lim p(t)
t-->[tex3]\infty [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\infty [/tex3]

[FelipeMartin]

[tex3]\frac{dp}{Ap^{\frac23}-Bp} = dt[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{dp}{Ap^{\frac23}-Bp} = dt[/tex3]

[tex3]t = \int_0^P \frac{dp}{Ap^{\frac23}-Bp} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]t = \int_0^P \frac{dp}{Ap^{\frac23}-Bp} [/tex3]

Fazemos [tex3]u = p^{\frac13} \implies du =\frac13p^{-\frac23} dp \implies dp = 3u^2 du [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u = p^{\frac13} \implies du =\frac13p^{-\frac23} dp \implies dp = 3u^2 du [/tex3]

[tex3]t = \int_0^{\sqrt[3]P} \frac{3u^2du}{Au^2-Bu^3} = \int_0^{\sqrt[3]P} \frac{3du}{A-Bu} = -\frac{3}B[\ln(A-B\sqrt[3]P) - \ln(A)] = [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]t = \int_0^{\sqrt[3]P} \frac{3u^2du}{Au^2-Bu^3} = \int_0^{\sqrt[3]P} \frac{3du}{A-Bu} = -\frac{3}B[\ln(A-B\sqrt[3]P) - \ln(A)] = [/tex3]

[tex3]\frac{Bt}3 = \ln (\frac{A}{A-B\sqrt[3]{P}})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{Bt}3 = \ln (\frac{A}{A-B\sqrt[3]{P}})[/tex3]

quando [tex3]t \to \infty[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]t \to \infty[/tex3]

, o lado esquerdo vai pra infinito, isso significa que o lado direito vai pra infinito, ou seja, o denominador do log vai pra zero:

[tex3]P \to \frac{A^3}{B^3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P \to \frac{A^3}{B^3}[/tex3]