Ensino Superior ⇒ Indução Finita Tópico resolvido

[Idocrase]

Mostre que [tex3]9\mid4^n+15n-1[/tex3], [tex3]\forall n\in\mathbb{N}[/tex3].

Eu cheguei na expressão [tex3]4^k\cdot4+15k+14[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4^k\cdot4+15k+14[/tex3]

e agora não sei como continuar, alguém pode me ajudar por favor? A ideia é tentar mostrar que [tex3]4^{n+1}+15(n+1)-1=9\text{p}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4^{n+1}+15(n+1)-1=9\text{p}[/tex3]

, [tex3]\text{p}\in\mathbb{Z}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{p}\in\mathbb{Z}[/tex3]

.

[leozitz]

[tex3]4^{k+1}+15(k+1) - 1-(4^k+15k-1) = 4^{k+1}-4^k+15=4^{k}(4-1)+15=3(4^k+5)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4^{k+1}+15(k+1) - 1-(4^k+15k-1) = 4^{k+1}-4^k+15=4^{k}(4-1)+15=3(4^k+5)[/tex3]

se a gente provar que [tex3]9|3(4^k+5)\iff3|4^k+5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]9|3(4^k+5)\iff3|4^k+5[/tex3]

acabou, e isso é de fato verdade, idependente do k, veja se entendeu ou se quer que eu explique com mais detalhes.

[Idocrase]

[tex3]4^{k+1}+15(k+1) - 1-(4^k+15k-1) = 4^{k+1}-4^k+15=4^{k}(4-1)+15=3(4^k+5)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4^{k+1}+15(k+1) - 1-(4^k+15k-1) = 4^{k+1}-4^k+15=4^{k}(4-1)+15=3(4^k+5)[/tex3]

se a gente provar que [tex3]9|3(4^k+5)\iff3|4^k+5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]9|3(4^k+5)\iff3|4^k+5[/tex3]

acabou, e isso é de fato verdade, idependente do k, veja se entendeu ou se quer que eu explique com mais detalhes.

Entendi, muito obrigado.