Seja ∆ABC um triangulo cujos lados medem BC = a, AC = b e AB = c. Se ma, mb e mc são as
medidas das medianas relativas aos lados BC, AC e AB, respectivamente.
a) Mostre que existe um triângulo ∆DEF cujos lados medem ma, mb e mc.
b) Determine a razão das áreas dos triangulos ∆ABC e ∆DEF.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Prof. Caju
Ensino Superior ⇒ GEOMETRIA PLANA - PROPRIEDADES DO TRIÂNGULO
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Abr 2024
06
22:48
Re: GEOMETRIA PLANA - PROPRIEDADES DO TRIÂNGULO
peedro1604,
Desigualdade triangular
[tex3]m_a=\sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}\\
m_b=\sqrt{\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}}\\
m_c=\sqrt{\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}}\\
m_b^2-m_c^2 < m_a^2 < m_b^2 + m_c^2\\
\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}-\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4} < \frac{2b^2+2c^2-a^2}{4} < \frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}+\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4} \\
\frac{c^2-b^2}{4}< \frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}< \frac{4a^2+b^2+c^2}{4}\implies c^2-b^2 < 2b^2+2c^2-a^2 < b^2+c^2+4a^2
[/tex3]
Formula da área em função da mediana
[tex3]s=\frac{m_a+m_b+m_c}{2}\\
\boxed{S_{ABC} =\frac{4}{3}\sqrt{s(s-m_a)(s-m_b)(s-m_c)}}(I)\\
F.Heron: S_{DEF}\\
p = \frac{m_a+m_b+m_c}{2}=s\\
\boxed{S_{DEF}=\sqrt{s(s-m_a)(s-m_b)(s-m_c)}}(II)\\
\frac{I}{II} : \boxed{\frac{S_{ABC}}{S_{DEF}}=\frac{4}{3}}[/tex3]
Desigualdade triangular
[tex3]m_a=\sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}\\
m_b=\sqrt{\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}}\\
m_c=\sqrt{\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}}\\
m_b^2-m_c^2 < m_a^2 < m_b^2 + m_c^2\\
\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}-\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4} < \frac{2b^2+2c^2-a^2}{4} < \frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}+\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4} \\
\frac{c^2-b^2}{4}< \frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}< \frac{4a^2+b^2+c^2}{4}\implies c^2-b^2 < 2b^2+2c^2-a^2 < b^2+c^2+4a^2
[/tex3]
Formula da área em função da mediana
[tex3]s=\frac{m_a+m_b+m_c}{2}\\
\boxed{S_{ABC} =\frac{4}{3}\sqrt{s(s-m_a)(s-m_b)(s-m_c)}}(I)\\
F.Heron: S_{DEF}\\
p = \frac{m_a+m_b+m_c}{2}=s\\
\boxed{S_{DEF}=\sqrt{s(s-m_a)(s-m_b)(s-m_c)}}(II)\\
\frac{I}{II} : \boxed{\frac{S_{ABC}}{S_{DEF}}=\frac{4}{3}}[/tex3]
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