Ensino Superior ⇒ GEOMETRIA PLANA - PROPRIEDADES DO TRIÂNGULO

[peedro1604]

Seja ∆ABC um triangulo cujos lados medem BC = a, AC = b e AB = c. Se ma, mb e mc são as
medidas das medianas relativas aos lados BC, AC e AB, respectivamente.

a) Mostre que existe um triângulo ∆DEF cujos lados medem ma, mb e mc.
b) Determine a razão das áreas dos triangulos ∆ABC e ∆DEF.

[petras]

peedro1604,

Desigualdade triangular
[tex3]m_a=\sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}\\
m_b=\sqrt{\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}}\\
m_c=\sqrt{\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}}\\
m_b^2-m_c^2 < m_a^2 < m_b^2 + m_c^2\\
\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}-\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4} < \frac{2b^2+2c^2-a^2}{4} < \frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}+\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4} \\
\frac{c^2-b^2}{4}< \frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}< \frac{4a^2+b^2+c^2}{4}\implies c^2-b^2 < 2b^2+2c^2-a^2 < b^2+c^2+4a^2





[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m_a=\sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}\\
m_b=\sqrt{\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}}\\
m_c=\sqrt{\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}}\\
m_b^2-m_c^2 < m_a^2 < m_b^2 + m_c^2\\
\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}-\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4} < \frac{2b^2+2c^2-a^2}{4} < \frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}+\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4} \\
\frac{c^2-b^2}{4}< \frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}< \frac{4a^2+b^2+c^2}{4}\implies c^2-b^2 < 2b^2+2c^2-a^2 < b^2+c^2+4a^2





[/tex3]

Formula da área em função da mediana


[tex3]s=\frac{m_a+m_b+m_c}{2}\\
\boxed{S_{ABC} =\frac{4}{3}\sqrt{s(s-m_a)(s-m_b)(s-m_c)}}(I)\\
F.Heron: S_{DEF}\\
p = \frac{m_a+m_b+m_c}{2}=s\\
\boxed{S_{DEF}=\sqrt{s(s-m_a)(s-m_b)(s-m_c)}}(II)\\
\frac{I}{II} : \boxed{\frac{S_{ABC}}{S_{DEF}}=\frac{4}{3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]s=\frac{m_a+m_b+m_c}{2}\\
\boxed{S_{ABC} =\frac{4}{3}\sqrt{s(s-m_a)(s-m_b)(s-m_c)}}(I)\\
F.Heron: S_{DEF}\\
p = \frac{m_a+m_b+m_c}{2}=s\\
\boxed{S_{DEF}=\sqrt{s(s-m_a)(s-m_b)(s-m_c)}}(II)\\
\frac{I}{II} : \boxed{\frac{S_{ABC}}{S_{DEF}}=\frac{4}{3}}[/tex3]