Ensino Superior ⇒ Posições Relativas de Planos Tópico resolvido

[pandysnakes]

Mostre que duas retas nao-paralelas sao coplanares se, e somente se, forem concorrentes.

[crow404]

Para mostrar que duas retas não paralelas são coplanares se, e somente se, forem concorrentes, é necessário compreender alguns conceitos geométricos e propriedades.

Duas retas são consideradas coplanares se estiverem contidas no mesmo plano, ou seja, se ambas as retas puderem ser desenhadas no mesmo plano sem que se cruzem.

E duas retas são concorrentes se possuem um ponto em comum. Se elas se interceptam em um ponto, elas são consideradas concorrentes.

Vamos provar as duas direções:

1. **Se duas retas não paralelas são concorrentes, então são coplanares:**

Se as duas retas não paralelas são concorrentes, isso significa que elas se interceptam em pelo menos um ponto. Se elas se encontram em um ponto, é possível desenhar ambas no mesmo plano, já que compartilham aquele ponto de interseção. Logo, elas são coplanares.

2. **Se duas retas não paralelas são coplanares, então são concorrentes:**

Se as duas retas não paralelas estão contidas no mesmo plano, significa que podem ser desenhadas no mesmo plano sem se cruzarem. Se elas estão no mesmo plano e não são paralelas, elas devem eventualmente se cruzar, caso contrário seriam paralelas ou não estariam no mesmo plano. Isso implica que elas são concorrentes.

Portanto, a afirmação de que duas retas não paralelas são coplanares se, e somente se, forem concorrentes é verdadeira, conforme demonstrado nos dois argumentos.

Essa é uma propriedade fundamental na geometria espacial e é bastante útil para compreender as relações entre retas em um espaço tridimensional.