Estou com dificuldade com uma questão da lista de matemática discreta da faculdade. Faço ciência da computação.
Eu não consigo entender de jeito maneiro como se faz o raciocínio dessa questão.
Obrigado desde já!
Enunciado:
Para cada inteiro positivo n, sejam A(n) e B(n) dois números
inteiros formados por 2n algarismos iguais a 1 e n algarismos iguais a 2
respectivamente. Mostre que A(n)-B(n) é um quadrado perfeito.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
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Ensino Superior ⇒ Álgebra, Teoria dos Números e Propriedades dos Números Inteiros. Tópico resolvido
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Ago 2023
22
18:19
Re: Álgebra, Teoria dos Números e Propriedades dos Números Inteiros.
Ornitologo, uma possível solução:
Veja que [tex3]A(n)=1+10^1+10^2+...+10^{2n-1}=\frac{10^{2n}-1}{9}[/tex3] , pela fórmula do somatório de P.G.
Ademais, [tex3]B(n)=2(1+10^1+10^2+...+10^{n-1})=2 \times \frac{10^n-1}{9}[/tex3] .
Então: [tex3]A(n)-B(n)=\frac{10^{2n}-2 \times 10^n+1}{9}=\left(\frac{10^n-1}{3}\right)^2[/tex3] .
Veja que a divisibilidade de [tex3]10^n-1[/tex3] por [tex3]3[/tex3] é garantida, pois [tex3]10^n-1[/tex3] é um número formado por algarismos nove.
Logo, [tex3]A(n)-B(n)[/tex3] é o quadrado de um número inteiro, C.Q.D
Veja que [tex3]A(n)=1+10^1+10^2+...+10^{2n-1}=\frac{10^{2n}-1}{9}[/tex3] , pela fórmula do somatório de P.G.
Ademais, [tex3]B(n)=2(1+10^1+10^2+...+10^{n-1})=2 \times \frac{10^n-1}{9}[/tex3] .
Então: [tex3]A(n)-B(n)=\frac{10^{2n}-2 \times 10^n+1}{9}=\left(\frac{10^n-1}{3}\right)^2[/tex3] .
Veja que a divisibilidade de [tex3]10^n-1[/tex3] por [tex3]3[/tex3] é garantida, pois [tex3]10^n-1[/tex3] é um número formado por algarismos nove.
Logo, [tex3]A(n)-B(n)[/tex3] é o quadrado de um número inteiro, C.Q.D
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Ago 2023
22
20:55
Re: Álgebra, Teoria dos Números e Propriedades dos Números Inteiros.
Ah! Entendi, muito obrigado.
Eu fiquei sem saber para onde ir quando vi essa questão, o método de resolução dela não é nem um pouco imediato para mim.
Eu fiquei sem saber para onde ir quando vi essa questão, o método de resolução dela não é nem um pouco imediato para mim.
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