Ensino Superior ⇒ Álgebra, Teoria dos Números e Propriedades dos Números Inteiros. Tópico resolvido

[Ornitologo]

Estou com dificuldade com uma questão da lista de matemática discreta da faculdade. Faço ciência da computação.
Eu não consigo entender de jeito maneiro como se faz o raciocínio dessa questão.

Obrigado desde já!

Enunciado:
Para cada inteiro positivo n, sejam A(n) e B(n) dois números
inteiros formados por 2n algarismos iguais a 1 e n algarismos iguais a 2
respectivamente. Mostre que A(n)-B(n) é um quadrado perfeito.

[παθμ]

Ornitologo, uma possível solução:

Veja que [tex3]A(n)=1+10^1+10^2+...+10^{2n-1}=\frac{10^{2n}-1}{9}[/tex3]

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[tex3]A(n)=1+10^1+10^2+...+10^{2n-1}=\frac{10^{2n}-1}{9}[/tex3]

, pela fórmula do somatório de P.G.

Ademais, [tex3]B(n)=2(1+10^1+10^2+...+10^{n-1})=2 \times \frac{10^n-1}{9}[/tex3]

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[tex3]B(n)=2(1+10^1+10^2+...+10^{n-1})=2 \times \frac{10^n-1}{9}[/tex3]

.

Então: [tex3]A(n)-B(n)=\frac{10^{2n}-2 \times 10^n+1}{9}=\left(\frac{10^n-1}{3}\right)^2[/tex3]

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[tex3]A(n)-B(n)=\frac{10^{2n}-2 \times 10^n+1}{9}=\left(\frac{10^n-1}{3}\right)^2[/tex3]

.

Veja que a divisibilidade de [tex3]10^n-1[/tex3]

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[tex3]10^n-1[/tex3]

por [tex3]3[/tex3]

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[tex3]3[/tex3]

é garantida, pois [tex3]10^n-1[/tex3]

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[tex3]10^n-1[/tex3]

é um número formado por algarismos nove.

Logo, [tex3]A(n)-B(n)[/tex3]

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[tex3]A(n)-B(n)[/tex3]

é o quadrado de um número inteiro, C.Q.D

[Ornitologo]

Ah! Entendi, muito obrigado.
Eu fiquei sem saber para onde ir quando vi essa questão, o método de resolução dela não é nem um pouco imediato para mim.