Ensino Superior ⇒ Lugar geométrico Tópico resolvido

[DudaS]

ACHE A EQUAÇÃO do lugar geométrico de um ponto P=(x,y) que se move de acordo com cada uma das condições abaixo e ESBOCE OS GRÁFICOS.
a) A soma dos quadrados das distâncias de P aos pontos (a,0) e (-a,0) é 4b², onde b>=a>0
b) A distância de P ao ponto (8,0) é o dobro de sua distância ao ponto (0,4)

Na questão a) eu achei uma circunferência de centro na origem do plano cartesiano e de raio 2b²-a². Mas não entendi o porquê dessas desigualdades envolvendo a e b e se elas interferem na resolução
Na letra b) não consegui identificar que tipo de gráfico a equação do lugar geométrico obtida representa

Agradeço qualquer ajuda.

[petras]

DudaS,

b)[tex3]A=(8,0):B=(4,0):P=(x,y)\\d_{PA}=2d_{PB}\implies \sqrt{(x-8)^2+y^2}=2\sqrt{x^2+(y-4)^2}\\
x^2-16x+64+y^2=4(x^2+y^2-8y+16) \implies 3x^2+3y^2+16x-32y=0\\
\therefore x^2+y^2+\frac{16x}{3}-\frac{32y}{3}=0 \implies (x+\frac{8}{3})^2+(y-\frac{16}{3})=\frac{64}{9}+\frac{256}{9}\\
\boxed{(x+\frac{8}{3})^2+(y-\frac{16}{3})^2=\frac{320}{9}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=(8,0):B=(4,0):P=(x,y)\\d_{PA}=2d_{PB}\implies \sqrt{(x-8)^2+y^2}=2\sqrt{x^2+(y-4)^2}\\
x^2-16x+64+y^2=4(x^2+y^2-8y+16) \implies 3x^2+3y^2+16x-32y=0\\
\therefore x^2+y^2+\frac{16x}{3}-\frac{32y}{3}=0 \implies (x+\frac{8}{3})^2+(y-\frac{16}{3})=\frac{64}{9}+\frac{256}{9}\\
\boxed{(x+\frac{8}{3})^2+(y-\frac{16}{3})^2=\frac{320}{9}}[/tex3]

Portanto uma circunferência C(-8/3,16/3) e R = [tex3]8\sqrt{5}/3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]8\sqrt{5}/3[/tex3]

[DudaS]

petras, muito obrigada.
E na letra a) é uma circunferência mesmo né? E se fosse a soma das distâncias (e não dos quadrados), iria ser uma elipse?

[petras]

DudaS,
a) circunferência
Sim. Uma elipse é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos é constante.