Seja f(x) um polinômio de grau 3, com três raízes reais distintas. Mostre que f tem um ponto de
inflexão, que é a média aritmética das três raízes.
Eu cheguei em f'' = 6ax + 2b, f''=0 ; x= -b/3a. Mas so consegui terminar por causa da relação de girard x1 + x2 +x3 = -b/a. Eu estou tendo problemas com demonstrações. Como provar de outra forma sem utilizar Girard?
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Prof. Caju
Ensino Superior ⇒ CALCULO I teorema de Rolle e polinomios Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Fev 2023
19
20:58
CALCULO I teorema de Rolle e polinomios
Editado pela última vez por Malbelor em 20 Fev 2023, 16:42, em um total de 2 vezes.
Fev 2023
23
15:04
Re: CALCULO I teorema de Rolle e polinomios
Usar as relações de Girard é esperado pra esse problema. Se vc realmente não quer usar, pode lembrar que f pode ser fatorada da seguinte forma:
[tex3]f(x) = a(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)[/tex3]
onde [tex3]r_1, r_2, r_3[/tex3] são as raízes de f. Daí derivando obteremos (usarei a regra do produto):
[tex3]f'(x) = a(x-r_2)(x-r_3) + a(x-r_1)(x-r_3) + a(x-r_1)(x-r_2)[/tex3]
[tex3]f''(x) = 2a(x-r_1) + 2a(x-r_2) + 2a(x-r_3)[/tex3]
Logo, para que x seja ponto de inflexão devemos ter
[tex3]f''(x) = 0 \implies 2a(x-r_1) + 2a(x-r_2) + 2a(x-r_3) = 0 \implies \boxed{x = \dfrac{r_1+r_2+r_3}3}[/tex3]
Ou seja, o ponto de inflexão é a média das raízes.
[tex3]f(x) = a(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)[/tex3]
onde [tex3]r_1, r_2, r_3[/tex3] são as raízes de f. Daí derivando obteremos (usarei a regra do produto):
[tex3]f'(x) = a(x-r_2)(x-r_3) + a(x-r_1)(x-r_3) + a(x-r_1)(x-r_2)[/tex3]
[tex3]f''(x) = 2a(x-r_1) + 2a(x-r_2) + 2a(x-r_3)[/tex3]
Logo, para que x seja ponto de inflexão devemos ter
[tex3]f''(x) = 0 \implies 2a(x-r_1) + 2a(x-r_2) + 2a(x-r_3) = 0 \implies \boxed{x = \dfrac{r_1+r_2+r_3}3}[/tex3]
Ou seja, o ponto de inflexão é a média das raízes.
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