Ensino Superior ⇒ CALCULO I teorema de Rolle e polinomios Tópico resolvido

[Malbelor]

Seja f(x) um polinômio de grau 3, com três raízes reais distintas. Mostre que f tem um ponto de
inflexão, que é a média aritmética das três raízes.
Eu cheguei em f'' = 6ax + 2b, f''=0 ; x= -b/3a. Mas so consegui terminar por causa da relação de girard x1 + x2 +x3 = -b/a. Eu estou tendo problemas com demonstrações. Como provar de outra forma sem utilizar Girard?

[DaoSeek]

Usar as relações de Girard é esperado pra esse problema. Se vc realmente não quer usar, pode lembrar que f pode ser fatorada da seguinte forma:

[tex3]f(x) = a(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x) = a(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)[/tex3]

onde [tex3]r_1, r_2, r_3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r_1, r_2, r_3[/tex3]

são as raízes de f. Daí derivando obteremos (usarei a regra do produto):

[tex3]f'(x) = a(x-r_2)(x-r_3) + a(x-r_1)(x-r_3) + a(x-r_1)(x-r_2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f'(x) = a(x-r_2)(x-r_3) + a(x-r_1)(x-r_3) + a(x-r_1)(x-r_2)[/tex3]

[tex3]f''(x) = 2a(x-r_1) + 2a(x-r_2) + 2a(x-r_3)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f''(x) = 2a(x-r_1) + 2a(x-r_2) + 2a(x-r_3)[/tex3]

Logo, para que x seja ponto de inflexão devemos ter

[tex3]f''(x) = 0 \implies 2a(x-r_1) + 2a(x-r_2) + 2a(x-r_3) = 0 \implies \boxed{x = \dfrac{r_1+r_2+r_3}3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f''(x) = 0 \implies 2a(x-r_1) + 2a(x-r_2) + 2a(x-r_3) = 0 \implies \boxed{x = \dfrac{r_1+r_2+r_3}3}[/tex3]

Ou seja, o ponto de inflexão é a média das raízes.