A solução de uma equação diferencial é uma função y ou y(x), se a equação for nestas variáveis. Resolvendo a equação homogênea (2y^2 - 3xy) dx + 3x^2 *dy = 0, obtém-se uma função y(x). Se o ponto y(1)=1/2 pertence a esta função, então pode-se afirmar que o valor aproximado de y(3), é:
a) 5
b) 8
c) 1
d) 3
e) 6
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
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Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Ensino Superior ⇒ A solução de uma equação diferencial é uma função y ou y(x), se a equação for nestas variáveis. Resolvendo a equação hom
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Mar 2023
15
17:57
Re: A solução de uma equação diferencial é uma função y ou y(x), se a equação for nestas variáveis. Resolvendo a equação
Observe
Uma solução:
Como o autor afirma no enunciado que se trata de uma EDO homogênea, então
3x² dy = ( 3xy - 2y² ) dx
3x² [tex3]\frac{dy}{dx}[/tex3] = 3xy - 2y² ( I )
Vamos utilizar a seguinte transformação:
y = x.u ( I I )
Obs. Se você quiser poderia usar também x = y.u , você tem que ver qual a melhor substituição ( a mais adequada, ou seja , a que lhe dê menos trabalho ! ).
Derivando em relação a x , temos:
[tex3]\frac{dy}{dx}[/tex3] = u + x [tex3]\frac{du}{dx}[/tex3] ( I I I ) ( Por quê???)
Substituindo ( I I ) e ( I I I ) em ( I ) , vem;
3x².[tex3]\left( u + x\frac{du}{dx}\right)[/tex3] = 3x²u - 2x²u²
3x².u + 3x³.[tex3]\frac{du}{dx}[/tex3] = 3x²u - 2x²u²
[tex3]3.\int\limits_{}^{}\frac{1}{u^2} \ du = -2.\int\limits_{}^{} \frac{1}{x} \ dx[/tex3]
- ( 3/u ) = - 2.ln | x | + k
3/u = ln ( x² ) + C
Mas, y = x.u → u = y/x , daí;
(3x)/y = ln ( x² ) + C
y( x ) = 3x/[ ln ( x² ) + C ]
Como y( 1 ) = 1/2 , fica;
y( 1 ) = ( 3.1 )/[ ln ( 1² ) + C ]
1/2 = 3/( 0 + C )
C = 6
Logo,
y( x ) = 3x/[ ln ( x² ) + 6 ]
Por fim, vamos calcular o módulo de y( 3 ) , temos que
y( 3 ) = ( 3.3 )/[ ln ( 3² ) + 6 ]
y( 3 ) = 9/( 8,197 )
y( 3 ) = 1,09
y( 3 ) ≈ 1.
Portanto, o valor aproximado de y( 3 ) é 1 , alternativa c).
Excelente estudo!
Uma solução:
Como o autor afirma no enunciado que se trata de uma EDO homogênea, então
3x² dy = ( 3xy - 2y² ) dx
3x² [tex3]\frac{dy}{dx}[/tex3] = 3xy - 2y² ( I )
Vamos utilizar a seguinte transformação:
y = x.u ( I I )
Obs. Se você quiser poderia usar também x = y.u , você tem que ver qual a melhor substituição ( a mais adequada, ou seja , a que lhe dê menos trabalho ! ).
Derivando em relação a x , temos:
[tex3]\frac{dy}{dx}[/tex3] = u + x [tex3]\frac{du}{dx}[/tex3] ( I I I ) ( Por quê???)
Substituindo ( I I ) e ( I I I ) em ( I ) , vem;
3x².[tex3]\left( u + x\frac{du}{dx}\right)[/tex3] = 3x²u - 2x²u²
3x².u + 3x³.[tex3]\frac{du}{dx}[/tex3] = 3x²u - 2x²u²
[tex3]3.\int\limits_{}^{}\frac{1}{u^2} \ du = -2.\int\limits_{}^{} \frac{1}{x} \ dx[/tex3]
- ( 3/u ) = - 2.ln | x | + k
3/u = ln ( x² ) + C
Mas, y = x.u → u = y/x , daí;
(3x)/y = ln ( x² ) + C
y( x ) = 3x/[ ln ( x² ) + C ]
Como y( 1 ) = 1/2 , fica;
y( 1 ) = ( 3.1 )/[ ln ( 1² ) + C ]
1/2 = 3/( 0 + C )
C = 6
Logo,
y( x ) = 3x/[ ln ( x² ) + 6 ]
Por fim, vamos calcular o módulo de y( 3 ) , temos que
y( 3 ) = ( 3.3 )/[ ln ( 3² ) + 6 ]
y( 3 ) = 9/( 8,197 )
y( 3 ) = 1,09
y( 3 ) ≈ 1.
Portanto, o valor aproximado de y( 3 ) é 1 , alternativa c).
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