Ensino Superior ⇒ A solução de uma equação diferencial é uma função y ou y(x), se a equação for nestas variáveis. Resolvendo a equação hom

[cbaluno]

A solução de uma equação diferencial é uma função y ou y(x), se a equação for nestas variáveis. Resolvendo a equação homogênea (2y^2 - 3xy) dx + 3x^2 *dy = 0, obtém-se uma função y(x). Se o ponto y(1)=1/2 pertence a esta função, então pode-se afirmar que o valor aproximado de y(3), é:
a) 5
b) 8
c) 1
d) 3
e) 6

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Como o autor afirma no enunciado que se trata de uma EDO homogênea, então

3x² dy = ( 3xy - 2y² ) dx

3x² [tex3]\frac{dy}{dx}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{dy}{dx}[/tex3]

= 3xy - 2y² ( I )

Vamos utilizar a seguinte transformação:

y = x.u ( I I )

Obs. Se você quiser poderia usar também x = y.u , você tem que ver qual a melhor substituição ( a mais adequada, ou seja , a que lhe dê menos trabalho ! ).

Derivando em relação a x , temos:

[tex3]\frac{dy}{dx}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{dy}{dx}[/tex3]

= u + x [tex3]\frac{du}{dx}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{du}{dx}[/tex3]

( I I I ) ( Por quê???)

Substituindo ( I I ) e ( I I I ) em ( I ) , vem;

3x².[tex3]\left( u + x\frac{du}{dx}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left( u + x\frac{du}{dx}\right)[/tex3]

= 3x²u - 2x²u²

3x².u + 3x³.[tex3]\frac{du}{dx}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{du}{dx}[/tex3]

= 3x²u - 2x²u²

[tex3]3.\int\limits_{}^{}\frac{1}{u^2} \ du = -2.\int\limits_{}^{} \frac{1}{x} \ dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3.\int\limits_{}^{}\frac{1}{u^2} \ du = -2.\int\limits_{}^{} \frac{1}{x} \ dx[/tex3]

- ( 3/u ) = - 2.ln | x | + k

3/u = ln ( x² ) + C

Mas, y = x.u → u = y/x , daí;

(3x)/y = ln ( x² ) + C

y( x ) = 3x/[ ln ( x² ) + C ]

Como y( 1 ) = 1/2 , fica;

y( 1 ) = ( 3.1 )/[ ln ( 1² ) + C ]

1/2 = 3/( 0 + C )

C = 6

Logo,

y( x ) = 3x/[ ln ( x² ) + 6 ]


Por fim, vamos calcular o módulo de y( 3 ) , temos que

y( 3 ) = ( 3.3 )/[ ln ( 3² ) + 6 ]

y( 3 ) = 9/( 8,197 )

y( 3 ) = 1,09

y( 3 ) ≈ 1.

Portanto, o valor aproximado de y( 3 ) é 1 , alternativa c).


Excelente estudo!