Ensino Superior ⇒ Limite Tópico resolvido

[Israfel]

Calcule o seguinte limite:

[tex3]\lim_{(x,y) \rightarrow ( 0,0) }{\left(\frac{x^{3}}{x^{2}-y^{2}}\right)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{(x,y) \rightarrow ( 0,0) }{\left(\frac{x^{3}}{x^{2}-y^{2}}\right)}[/tex3]

Resposta

---

f(x,y) = [tex3]\frac{x^{3}}{x^{2}-y^{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x^{3}}{x^{2}-y^{2}}[/tex3]

para cada (x,y) [tex3]\in \mathbb{R}^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\in \mathbb{R}^{2}[/tex3]

tal que | x| [tex3]\neq [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\neq [/tex3]

| y| .
Como
[tex3]\lim_{t \rightarrow 0}f(0,t) = \lim_{t \rightarrow 0}\frac{0^{3}}{0^{2}-t^{2}} = \lim_{t \rightarrow 0} 0 = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{t \rightarrow 0}f(0,t) = \lim_{t \rightarrow 0}\frac{0^{3}}{0^{2}-t^{2}} = \lim_{t \rightarrow 0} 0 = 0[/tex3]

e
A mina duvida e como o Autor chegou encontrou [tex3]t-t^{2}[/tex3]
[tex3]\lim_{t \rightarrow 0}f(t,t-t^{2}) = \lim_{t \rightarrow 0}\frac{t^{3}}{t^{2}-(t-t^{2})^{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{t \rightarrow 0}f(t,t-t^{2}) = \lim_{t \rightarrow 0}\frac{t^{3}}{t^{2}-(t-t^{2})^{2}}[/tex3]

=
[tex3]\lim_{t \rightarrow 0}\frac{t^{3}}{2t^{3}-t^{4}} = \lim_{t \rightarrow 0}\frac{1}{2-t} = \frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{t \rightarrow 0}\frac{t^{3}}{2t^{3}-t^{4}} = \lim_{t \rightarrow 0}\frac{1}{2-t} = \frac{1}{2}[/tex3]

Deduzimos que o limite nao existe.

[Cardoso1979]

Observe

A mina duvida e como o Autor chegou encontrou [tex3]t-t^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]t-t^{2}[/tex3]

Uma explicação:

O que o autor aplicou foi o Método por dois caminhos , ele poderia também ter chamado de x = t e y = t + t² e o resultado seria - 1/2 . Na realidade não existe um método específico para encontrar essas curvas , ou melhor, existe, porém é através das tentativas, "chute" , "olhometro" , dedução, etc , até "encaixar" uma curva que atenda o problema. Como foi o autor que criou esse problema, obviamente que o mesmo já havia trabalhado ( construído ) em cima das curvas apresentadas por ele, você vai adquirir essa percepção resolvendo os exercícios. O problema é que algumas vezes a gente se depara com limites complicados de enxergar logo de cara a curva( o caminho ) a ser aplicada.



Excelente estudo!