Ensino Superior ⇒ EDO - solução em série Tópico resolvido

[Stich]

Resolva a EDO [tex3](3-x^2)\dfrac{d^2y}{dx^2}-3x\dfrac{dy}{dx}-y=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](3-x^2)\dfrac{d^2y}{dx^2}-3x\dfrac{dy}{dx}-y=0[/tex3]

utilizando séries de potencia.

Resposta

---

[tex3]y(x)=C_1(1+\dfrac{1}{6}x^2+\dfrac{1}{24}x^4+\dfrac{5}{432}x^6+\cdots+\dfrac{3\cdot5\cdot\cdots(2n-1)}{3^n\cdot2\cdot4\cdot(2n)}x^{2n}+\cdots)+C_2(x+\dfrac{2}{9}x^3+\dfrac{8}{135}x^5+\dfrac{16}{945}x^7+\cdots+\dfrac{2\cdot4\cdots(2n)}{3^n\cdot3\cdot5\cdots(2n+1)}x^{2n+1}+\cdots)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y(x)=C_1(1+\dfrac{1}{6}x^2+\dfrac{1}{24}x^4+\dfrac{5}{432}x^6+\cdots+\dfrac{3\cdot5\cdot\cdots(2n-1)}{3^n\cdot2\cdot4\cdot(2n)}x^{2n}+\cdots)+C_2(x+\dfrac{2}{9}x^3+\dfrac{8}{135}x^5+\dfrac{16}{945}x^7+\cdots+\dfrac{2\cdot4\cdots(2n)}{3^n\cdot3\cdot5\cdots(2n+1)}x^{2n+1}+\cdots)[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Eba!!! Mais uma questão com gabarito

Uma solução:

Temos y( x ) = C0 + C1.x + C2.x² + C3.x³ + C4.x⁴ + C5.x⁵ + C6.x⁶ + C7.x⁷ + . . . + Cn.xⁿ + . . . = [tex3]\sum_{n=0}^{∞}C_{n}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{n=0}^{∞}C_{n}[/tex3]

.xⁿ . Então,

[tex3]y' = \sum_{n=1}^{∞}n.C_{n}.x^{ n - 1 } = \sum_{n=0}^{∞}( n + 1 ).C_{n + 1}.x^n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y' = \sum_{n=1}^{∞}n.C_{n}.x^{ n - 1 } = \sum_{n=0}^{∞}( n + 1 ).C_{n + 1}.x^n[/tex3]

( I ). ( Obs.1 Substituí n por n + 1 ).

e

[tex3]y'' = \sum_{n=2}^{∞}n.( n - 1 ).C_{n}.x^{ n - 2 } = \sum_{n=0}^{∞}( n + 2 ).( n + 1 ).C_{n + 2}.x^n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y'' = \sum_{n=2}^{∞}n.( n - 1 ).C_{n}.x^{ n - 2 } = \sum_{n=0}^{∞}( n + 2 ).( n + 1 ).C_{n + 2}.x^n[/tex3]

( I I ). ( Obs.2 Substituí n por n + 2 ).

Substituindo ( I ) e ( I I ) em ( 3 - x² ).y'' - 3x.y' - y = 0 , fica;

[tex3]( 3 - x^2 ).\sum_{n=0}^{∞}( n + 2 ).( n + 1 ).C_{n + 2}.x^n \ - \ 3x.\sum_{n=0}^{∞}( n + 1 ).C_{n + 1}.x^n \ - \ \sum_{n=0}^{∞}C_{n}.x^n = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]( 3 - x^2 ).\sum_{n=0}^{∞}( n + 2 ).( n + 1 ).C_{n + 2}.x^n \ - \ 3x.\sum_{n=0}^{∞}( n + 1 ).C_{n + 1}.x^n \ - \ \sum_{n=0}^{∞}C_{n}.x^n = 0[/tex3]

Desenvolvendo( agora muita atenção com os indices ) ...

[tex3]3.\sum_{n=0}^{∞}( n + 2 ).( n + 1 ).C_{n + 2}.x^n \ - \ x^2.\sum_{n=0}^{∞}( n + 2 ).( n + 1 ).C_{n + 2}.x^n \ - \ 3x.\sum_{n=0}^{∞}( n + 1 ).C_{n + 1}.x^n \ - \ \sum_{n=0}^{∞}C_{n}.x^n = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3.\sum_{n=0}^{∞}( n + 2 ).( n + 1 ).C_{n + 2}.x^n \ - \ x^2.\sum_{n=0}^{∞}( n + 2 ).( n + 1 ).C_{n + 2}.x^n \ - \ 3x.\sum_{n=0}^{∞}( n + 1 ).C_{n + 1}.x^n \ - \ \sum_{n=0}^{∞}C_{n}.x^n = 0[/tex3]

[tex3]6C_{2} \ + \ 18C_{3}.x \ + \ 3.\sum_{n=2}^{∞}( n + 2 ).( n + 1 ).C_{n + 2}.x^n \ - \ x^2.\sum_{n=0}^{∞}( n + 2 ).( n + 1 ).C_{n + 2}.x^n \ - \ 3x.\sum_{n=0}^{∞}( n + 1 ).C_{n + 1}.x^n \ - \ C_{0} \ - \ C_{1}.x \ - \ \sum_{n=2}^{∞}C_{n}.x^n = 0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]6C_{2} \ + \ 18C_{3}.x \ + \ 3.\sum_{n=2}^{∞}( n + 2 ).( n + 1 ).C_{n + 2}.x^n \ - \ x^2.\sum_{n=0}^{∞}( n + 2 ).( n + 1 ).C_{n + 2}.x^n \ - \ 3x.\sum_{n=0}^{∞}( n + 1 ).C_{n + 1}.x^n \ - \ C_{0} \ - \ C_{1}.x \ - \ \sum_{n=2}^{∞}C_{n}.x^n = 0 [/tex3]

Antes de prosseguir, escreva

[tex3]x^2.\sum_{n=0}^{∞}( n + 2 ).( n + 1 ).C_{n + 2}.x^n = \sum_{n=2}^{∞}n.( n - 1 ).C_{n}.x^n [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2.\sum_{n=0}^{∞}( n + 2 ).( n + 1 ).C_{n + 2}.x^n = \sum_{n=2}^{∞}n.( n - 1 ).C_{n}.x^n [/tex3]

( Isso já foi feito acima, " é a volta" ).

e

[tex3]x.\sum_{n=0}^{∞}( n + 1 ).C_{n + 1}.x^n = \sum_{n=1}^{∞}n.C_{n}.x^n [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x.\sum_{n=0}^{∞}( n + 1 ).C_{n + 1}.x^n = \sum_{n=1}^{∞}n.C_{n}.x^n [/tex3]

( Isso já foi feito acima, " é a volta" ).

Segue que

[tex3]6C_{2} \ + \ 18C_{3}.x \ - \ C_{0} \ - \ C_{1}.x \ + \ 3.\sum_{n=2}^{∞}( n + 2 ).( n + 1 ).C_{n + 2}.x^n \ - \ \sum_{n=2}^{∞}n.( n - 1 ).C_{n}.x^n \ - \ 3.\sum_{n=1}^{∞}n.C_{n}.x^n \ - \ \sum_{n=2}^{∞}C_{n}.x^n = 0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]6C_{2} \ + \ 18C_{3}.x \ - \ C_{0} \ - \ C_{1}.x \ + \ 3.\sum_{n=2}^{∞}( n + 2 ).( n + 1 ).C_{n + 2}.x^n \ - \ \sum_{n=2}^{∞}n.( n - 1 ).C_{n}.x^n \ - \ 3.\sum_{n=1}^{∞}n.C_{n}.x^n \ - \ \sum_{n=2}^{∞}C_{n}.x^n = 0 [/tex3]

[tex3]6C_{2} \ + \ 18C_{3}.x \ - \ C_{0} \ - \ C_{1}.x \ + \ 3.\sum_{n=2}^{∞}( n + 2 ).( n + 1 ).C_{n + 2}.x^n \ - \ \sum_{n=2}^{∞}n.( n - 1 ).C_{n}.x^n \ - \ 3.C_{1}.x \ - \ 3.\sum_{n=2}^{∞}n.C_{n}.x^n \ - \ \sum_{n=2}^{∞}C_{n}.x^n = 0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]6C_{2} \ + \ 18C_{3}.x \ - \ C_{0} \ - \ C_{1}.x \ + \ 3.\sum_{n=2}^{∞}( n + 2 ).( n + 1 ).C_{n + 2}.x^n \ - \ \sum_{n=2}^{∞}n.( n - 1 ).C_{n}.x^n \ - \ 3.C_{1}.x \ - \ 3.\sum_{n=2}^{∞}n.C_{n}.x^n \ - \ \sum_{n=2}^{∞}C_{n}.x^n = 0 [/tex3]

[tex3]( 6C_{2} \ - \ C_{0} ) \ + \ (18C_{3} \ - \ 4C_{1} ).x \ + \ \sum_{n=2}^{∞} [ 3.( n + 2 ).( n + 1 ).C_{n + 2} \ - \ n.( n - 1 ).C_{n} \ - \ 3.n.C_{n} \ - \ C_{n} ].x^n = 0 \ + \ 0.x \ + \ 0.x^n [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]( 6C_{2} \ - \ C_{0} ) \ + \ (18C_{3} \ - \ 4C_{1} ).x \ + \ \sum_{n=2}^{∞} [ 3.( n + 2 ).( n + 1 ).C_{n + 2} \ - \ n.( n - 1 ).C_{n} \ - \ 3.n.C_{n} \ - \ C_{n} ].x^n = 0 \ + \ 0.x \ + \ 0.x^n [/tex3]

Comparando os termos, temos que

[tex3]6C_{2} - C_{0} = 0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]6C_{2} - C_{0} = 0 [/tex3]

→ C2 = ( C0 )/6 ;

[tex3]18C_{3} - 4C_{1} = 0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]18C_{3} - 4C_{1} = 0 [/tex3]

→ C3 = ( 2C1 )/9

e

[tex3]3( n + 2 )( n + 1 ).C_{n + 2} - n( n - 1 ).C_{n} - 3n.C_{n} - C_{n} = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3( n + 2 )( n + 1 ).C_{n + 2} - n( n - 1 ).C_{n} - 3n.C_{n} - C_{n} = 0[/tex3]

[tex3]3( n + 2 )( n + 1 ).C_{n + 2} = [ n( n - 1 ) + 3n + 1 ].C_{n} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3( n + 2 )( n + 1 ).C_{n + 2} = [ n( n - 1 ) + 3n + 1 ].C_{n} [/tex3]

[tex3]3( n + 2 ).\cancel{( n + 1 )}.C_{n + 2} = \cancel{( n + 1 )}.( n + 1 ).C_{n} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3( n + 2 ).\cancel{( n + 1 )}.C_{n + 2} = \cancel{( n + 1 )}.( n + 1 ).C_{n} [/tex3]

[tex3]3( n + 2 ).C_{n + 2} = ( n + 1 ).C_{n} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3( n + 2 ).C_{n + 2} = ( n + 1 ).C_{n} [/tex3]

, n = 0 , 1 , 2 , 3 , . .

Os índices se diferem por dois , então para n = 1 , 2 , 3 , . . .

[tex3]C_{2n} = \frac{( 2n - 1 ).C_{ 2n - 2 }}{ 3.( 2n )} = \frac{( 2n - 3 ).( 2n - 1 ).C_{ 2n - 4 }}{ 3^2.( 2n - 2 ).( 2n )} = . . . = \frac{ 3.5 \ . \ ... \ . \ ( 2n - 1 )}{ 3^n .2.4. \ ... \ . ( 2n )}.C_{0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_{2n} = \frac{( 2n - 1 ).C_{ 2n - 2 }}{ 3.( 2n )} = \frac{( 2n - 3 ).( 2n - 1 ).C_{ 2n - 4 }}{ 3^2.( 2n - 2 ).( 2n )} = . . . = \frac{ 3.5 \ . \ ... \ . \ ( 2n - 1 )}{ 3^n .2.4. \ ... \ . ( 2n )}.C_{0}[/tex3]

e

[tex3]C_{2n + 1} = \frac{( 2n ).C_{ 2n - 1 }}{ 3.( 2n + 1 )} = \frac{( 2n - 2 ).( 2n ).C_{ 2n - 3 }}{ 3^2.( 2n - 1 ).( 2n + 1 )} = . . . = \frac{ 2.4.6 \ . \ ... \ . \ ( 2n )}{ 3^n . 3 .5. \ ... \ . ( 2n + 1 )}.C_{1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_{2n + 1} = \frac{( 2n ).C_{ 2n - 1 }}{ 3.( 2n + 1 )} = \frac{( 2n - 2 ).( 2n ).C_{ 2n - 3 }}{ 3^2.( 2n - 1 ).( 2n + 1 )} = . . . = \frac{ 2.4.6 \ . \ ... \ . \ ( 2n )}{ 3^n . 3 .5. \ ... \ . ( 2n + 1 )}.C_{1}[/tex3]

Para n = 2 , substituindo em [tex3]C_{2n} = \frac{( 2n - 1 ).C_{ 2n - 2 }}{ 3.( 2n )}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_{2n} = \frac{( 2n - 1 ).C_{ 2n - 2 }}{ 3.( 2n )}[/tex3]

, vem;

C4 = ( 3.C2 )/( 3.4 ) = ( 1/4 ).( C0/6 ) = C0/24

Para n = 3 , substituindo em [tex3]C_{2n} = \frac{( 2n - 1 ).C_{ 2n - 2 }}{ 3.( 2n )}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_{2n} = \frac{( 2n - 1 ).C_{ 2n - 2 }}{ 3.( 2n )}[/tex3]

, vem;

C6 = ( 5.C4 )/( 18 ) = ( 5/18 ).( C0/24 ) = 5C0/432

.
.
.

Por outro lado, para n = 2 , substituindo em [tex3]C_{2n + 1} = \frac{( 2n ).C_{ 2n - 1 }}{ 3.( 2n + 1 )}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_{2n + 1} = \frac{( 2n ).C_{ 2n - 1 }}{ 3.( 2n + 1 )}[/tex3]

, fica;

C5 = ( 4C3 )/15 = ( 4.2.C1 )/( 15 . 9 ) = 8C1/135.

Para n = 3 , substituindo em [tex3]C_{2n + 1} = \frac{( 2n ).C_{ 2n - 1 }}{ 3.( 2n + 1 )}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_{2n + 1} = \frac{( 2n ).C_{ 2n - 1 }}{ 3.( 2n + 1 )}[/tex3]

, fica;

C7 = ( 6C5 )/21 = ( 6.8.C1 )/( 21.135 ) = 16C1/945.

.
.
.

Basta substituir os resultados encontrados acima em
y( x ) = C0 + C1.x + C2.x² + C3.x³ + C4.x⁴ + C5.x⁵ + C6.x⁶ + C7.x⁷ + . . . , temos

[tex3]y(x)=C_0+\dfrac{C_0}{6}.x^2+\dfrac{ C_0 }{24}.x^4+\dfrac{5.C_0}{432}.x^6+\cdots+\dfrac{3\cdot5 \ . \ ... \ .(2n-1)C_0}{3^n\cdot2\cdot4 . \ ... \ .(2n)}.x^{2n}+\cdots+C_1.x+\dfrac{2C_1}{9}.x^3+\dfrac{8C_1}{135}.x^5+\dfrac{16C_1}{945}.x^7+\cdots+\dfrac{2\cdot4\cdot6 . \ ... \ .(2n)C_1}{3^n\cdot3\cdot5. \ ... \ .(2n+1)}.x^{2n+1}+\cdots[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y(x)=C_0+\dfrac{C_0}{6}.x^2+\dfrac{ C_0 }{24}.x^4+\dfrac{5.C_0}{432}.x^6+\cdots+\dfrac{3\cdot5 \ . \ ... \ .(2n-1)C_0}{3^n\cdot2\cdot4 . \ ... \ .(2n)}.x^{2n}+\cdots+C_1.x+\dfrac{2C_1}{9}.x^3+\dfrac{8C_1}{135}.x^5+\dfrac{16C_1}{945}.x^7+\cdots+\dfrac{2\cdot4\cdot6 . \ ... \ .(2n)C_1}{3^n\cdot3\cdot5. \ ... \ .(2n+1)}.x^{2n+1}+\cdots[/tex3]

Portanto,

[tex3]y(x)=C_0.\left( 1+\dfrac{1}{6}.x^2+\dfrac{ 1 }{24}.x^4+\dfrac{5}{432}.x^6+\cdots+\dfrac{3\cdot5 \ . \ ... \ .(2n-1)}{3^n\cdot2\cdot4 . \ ... \ .(2n)}.x^{2n}+\cdots \right) \ + \ C_1. \left( x+\dfrac{2}{9}.x^3+\dfrac{8}{135}.x^5+\dfrac{16}{945}.x^7+\cdots+\dfrac{2\cdot4\cdot6 . \ ... \ .(2n)}{3^n\cdot3\cdot5. \ ... \ .(2n+1)}.x^{2n+1}+\cdots \right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y(x)=C_0.\left( 1+\dfrac{1}{6}.x^2+\dfrac{ 1 }{24}.x^4+\dfrac{5}{432}.x^6+\cdots+\dfrac{3\cdot5 \ . \ ... \ .(2n-1)}{3^n\cdot2\cdot4 . \ ... \ .(2n)}.x^{2n}+\cdots \right) \ + \ C_1. \left( x+\dfrac{2}{9}.x^3+\dfrac{8}{135}.x^5+\dfrac{16}{945}.x^7+\cdots+\dfrac{2\cdot4\cdot6 . \ ... \ .(2n)}{3^n\cdot3\cdot5. \ ... \ .(2n+1)}.x^{2n+1}+\cdots \right)[/tex3]

.

Ou se preferir,


[tex3]y(x)=C_0.\left( 1\ + \ \sum_{ n = 1 }^{ ∞ }\dfrac{3\cdot5 \ . \ ... \ .(2n-1)}{3^n\cdot2\cdot4 . \ ... \ .(2n)}.x^{2n} \right) \ + \ C_1. \left( x \ + \ \sum_{ n = 1 }^{ ∞ } \dfrac{2\cdot4\cdot6 . \ ... \ .(2n)}{3^n\cdot3\cdot5. \ ... \ .(2n+1)}.x^{2n+1} \right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y(x)=C_0.\left( 1\ + \ \sum_{ n = 1 }^{ ∞ }\dfrac{3\cdot5 \ . \ ... \ .(2n-1)}{3^n\cdot2\cdot4 . \ ... \ .(2n)}.x^{2n} \right) \ + \ C_1. \left( x \ + \ \sum_{ n = 1 }^{ ∞ } \dfrac{2\cdot4\cdot6 . \ ... \ .(2n)}{3^n\cdot3\cdot5. \ ... \ .(2n+1)}.x^{2n+1} \right)[/tex3]

.


Excelente estudo!