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Mensagem não lidapor **magben** » Sex 24 Jun, 2022 19:21 · Mensagem não lida por **magben** » Sex 24 Jun, 2022 19:21

Prove que uma sequência [tex3](a_{n})[/tex3] , que não é limitada, possui uma subsequência [tex3]a_{nj}[/tex3] tal que [tex3]\frac{1}{a_{nj}}\rightarrow 0[/tex3] .

Mensagem não lidapor **fortran** » Sex 01 Jul, 2022 10:22

Uma sequência limitada possui a seguinte propriedade: Existe [tex3]M>0[/tex3] tal que:

[tex3]\forall\,n\geq1\,,\,|a_n|\leq M[/tex3]

Negar isso (sequência não limitada) significa então que para todo [tex3]M>0[/tex3] é possível encontrar um índice [tex3]n_M\geq1[/tex3] tal que [tex3]|a_{n_M}|>M[/tex3] . Logo, para [tex3]M=1>0[/tex3] , existe [tex3]n_1\geq1[/tex3] tal que [tex3]|a_{n_1}|>1[/tex3] . Para [tex3]M=2>0[/tex3] , existe [tex3]n_2>n_{1}\geq1[/tex3] (pense como é possível garantir que [tex3]n_2>n_1[/tex3] ) tal que [tex3]|a_{n_2}|>2[/tex3] . Seguindo este processo indutivamente, obtemos uma subsequência [tex3](a_{n_j})[/tex3] tal que:

[tex3]\forall\,j\geq1\,,\,|a_{n_j}|>j[/tex3]

Ou seja:

[tex3]\forall\,j\geq1\,,\,\frac{1}{|a_{n_j}|}<\frac{1}{j}[/tex3]

Fazendo [tex3]j\to\infty[/tex3] , temos o resultado.

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