Ensino Superior ⇒ Série Convergente - Geraldo Ávila- Análise real para licenciatura Tópico resolvido

[magben]

Prove que se [tex3]\Sigma _{a_{n}}[/tex3]

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[tex3]\Sigma _{a_{n}}[/tex3]

é uma série convergente de termos positivos, então [tex3]\Sigma _{a^2_{n}}[/tex3]

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[tex3]\Sigma _{a^2_{n}}[/tex3]

é convergente

[Cardoso1979]

Observe

Eba!!!!!!! Mais uma questão com a FONTE


PROVA 1:

Como [tex3]\sum_{}^{} a_{n}[/tex3]

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[tex3]\sum_{}^{} a_{n}[/tex3]

é convergente, [tex3]\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}[/tex3]

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[tex3]\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}[/tex3]

= 0 , então existe N tal que | an - 0 | < 1 para todo n > N ⇒ 0 ≤ an< 1 para todos n > N ⇒ 0 ≤ ( an )² ≤ an. Como a série [tex3]\sum_{}^{} a_{n}[/tex3]

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[tex3]\sum_{}^{} a_{n}[/tex3]

é convergente , a série [tex3]\sum_{}^{} a_{n}^2 [/tex3]

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[tex3]\sum_{}^{} a_{n}^2 [/tex3]

também é convergente pelo Teste de Comparação . C.q.p.




PROVA 2:

Pensamos primeiramente o seguinte, se tivermos uma soma ( a + b ) , onde a , b ≥ 0 , podemos afirmar que

( a + b )² ≥ a² + b²

Perceba que a² + 2ab + b² ≥ a² + b² , ou seja , no lado esquerdo, temos 2ab a mais que no direito, e como a e b são positivos, o lado esquerdo fica maior.

Fizemos um exemplo com dois( 2 ) termos, mais com quantos termos for podemos afirmar que o quadrado da soma é maior que a soma dos quadrados, ou seja

( a1 + a2 + a3 + ... )² ≥ ( a1 )² + ( a2 )² + ( a3 )² + ...

Assim, já que nossa série é convergente, podemos dizer que o limite é zero se sua soma é s.

[tex3]\sum_{}^{} a_{n}[/tex3]

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[tex3]\sum_{}^{} a_{n}[/tex3]

= s = a1 + a2 + a3 + ...

Sendo que s é um número finito e positivo , logo s² também é finito, pois o quadrado de um número finito dá um número finito.

s² = ( a1 + a2 + a3 + ... )²

Analisando a comparação

( a1 + a2 + a3 + ... )² ≥ ( a1 )² + ( a2 )² + ( a3 )² + ...

Podemos substituir s² , temos

s² ≥ ( a1 )² + ( a2 )² + ( a3 )² + ...

E do lado direito temos a série [tex3]\sum_{}^{} ( a_{n}) ^2[/tex3]

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[tex3]\sum_{}^{} ( a_{n}) ^2[/tex3]

, logo

s² ≥ [tex3]\sum_{}^{} ( a_{n} )^2[/tex3]

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[tex3]\sum_{}^{} ( a_{n} )^2[/tex3]

Portanto, temos que [tex3]\sum_{}^{} ( a_{n} )^2[/tex3]

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[tex3]\sum_{}^{} ( a_{n} )^2[/tex3]

é menor que um número finito, e como todos os termos da série são positivos, pelo Teste da Comparação , essa série é convergente . C.q.p.



Excelente estudo!