Ensino Superior ⇒ Supremo - Geraldo Ávila - Análise Real Tópico resolvido

[magben]

Use a propriedade do supremo para provar que 2 possui raiz quadrada positiva

[Cardoso1979]

Observe

Eba!!!! Mais uma questão com a FONTE

Uma prova:

Seja A = { y ∈ [0, +∞) ; y² < 2 }. Como 1 ∈ A então A é não vazio.Além disso, A é limitado superiormente por 2, pois se z > 2 então z² > 4,de modo que z ∉ A. Logo, se z ∈ A então z ≤ 2. O Axioma do Supremo garante então que A possui supremo em R. Seja c = sup A. Observe que c > 0 (por quê?). Mostra-se que c² = 2, mostrando-se que são falsas as duas outras possibilidades: c² < 2 e c² > 2.

Supõe-se primeiramente, por absurdo, que c² < 2 é verdadeira. Mostra-se que esta suposição implica a existência de um elemento de A que é maior do que c (será um elemento da forma c + ( 1/n ) , com n ∈ N). Isto leva a uma contradição, pois sendo o supremo de A, c é uma cota superior de A. Para encontrar tal n fez-se um procedimento algébrico à parte, que não é descrito aqui.

Tem-se neste caso, que 2 − c² > 0, e também é claro que 2c + 1 > 0. Daí, ( 2 − c² )/( 2c + 1 ) > 0. A Propriedade Arquimediana garante então que existe n ∈ N tal que ( 1/n ) < ( 2 - c² )/( 2c + 1 ) . Portanto,

( 1/n ).( 2c + 1 ) < 2 - c² .

Daí,

[ c + ( 1/n ) ]² = c² + ( 2c/n ) + ( 1/n² ) < c² + ( 2c/n ) + ( 1/n ) = c² + ( 1/n ).( 2c + 1 ) < c² + 2 - c² = 2.

Com isto, tem-se que o número real c + ( 1/n ) é um elemento do conjunto A, o que é absurdo, pois c = sup A. Assim, não é possível que seja c² < 2.

Supõe-se agora, por absurdo, que c² > 2. Mostra-se que esta suposição implica na existência de uma cota superior de A menor do que c, o que é absurdo. De fato, como c² − 2 > 0 e 2c > 0 então ( c² - 2 )/( 2c ) > 0. Logo, pela Propriedade Arquimediana, existe m ∈ N tal que 1/m < ( c² - 2 )/( 2c ). Daí e de novo de 2c > 0 tem-se ( 2c )/m < c² − 2 , o que leva a

( −2c )/m > 2 − c².

Então [ c - ( 1/m ) ]² = c² + [ (−2c)/m ] + 1/m² > c² −
[ ( 2c )/m ] > c² + ( 2 − c² ) = 2. Portanto, [ c − ( 1/m ) ]² > 2 ≥ y² > 0, para todo y ∈ A. Segue que, c - ( 1/m ) > y , para todo y ∈ A. Ou seja, c - ( 1/m ) é uma cota superior para A, o que é absurdo, pois c − ( 1/m ) < c = sup A. Portanto, não se pode ter c² > 2.

Pelos dois casos e pela tricotomia, conclui-se que c² = 2. Portanto, existe c ∈ R, c > 0, tal que c² = 2 , ou seja , c = √2. C.q.p.


Excelente estudo!