Ensino Superior

gabrielleSchn

EDO linear, homogênea de 3ª ordem com raizes:
[tex3]λ_1 = 0, λ_2 = -i[/tex3] e [tex3]λ_3=i[/tex3]
condições iniciais:
[tex3]y(0)=2, y'(0)=3 e y''(0)=14[/tex3]
Calcule o valor da solução no ponto [tex3]x=7π[/tex3]

Resposta:

Resposta

30

Observe

Eba!!!!!! Mais uma questão com gabarito

Uma solução:

Ora , como as raizes da equação característica da EDO de 3ª ordem são [tex3]λ_1 = 0 \ , \ λ_2 = -i[/tex3] e [tex3]λ_3 = i [/tex3] , então a solução geral é da forma:

[tex3]y( x ) = C_{1}.e^{\alpha .x}.sen ( \beta .x ) \ + \ C_{2}.e^{\alpha .x}.cos (\beta .x) \ + \ C_{3}.e^{ \lambda_1 .x} [/tex3]

Onde ,

[tex3]\alpha ± i \beta [/tex3] , com [tex3]\beta [/tex3] > 0 , ou seja , 0 ± i.1 , substituindo, fica;

[tex3]y( x ) = C_{1}.e^{ 0.x}.sen ( 1.x ) \ + \ C_{2}.e^{ 0 .x}.cos ( 1 .x) \ + \ C_{3}.e^{ 0.x} [/tex3]

[tex3]y( x ) = C_{1}.sen ( x ) \ + \ C_{2}.cos ( x ) \ + \ C_{3} [/tex3] .

Como foi dado que y( 0 ) = 2 , y'( 0 ) = 3 e y''( 0 ) = 14 , temos então

y( 0 ) = C1.sen( 0 ) + C2.cos( 0 ) + C3

C2 + C3 = 2 ( I )

Calculando y'( x ) , vem;

y'( x ) = C1.cos(x) - C2.sen(x)

y'( 0 ) = C1.cos(0) - C2.sen(0)

C1 = 3

Calculando y''( x ) , temos

y''( x ) = - C1.sen( x ) - C2.cos( x )

y''( 0 ) = - C1.sen( 0 ) - C2.cos( 0 )

- C2 = 14 → C2 = - 14

Substituindo C2 = - 14 em ( I ), obtemos

C3 = 16

Assim,

y( x ) = 3.sen( x ) - 14.cos( x ) + 16

Por fim, calculamos y( 7π ) :

y( 7π ) = 3.sen( 7π ) - 14.cos( 7π ) + 16

y( 7π ) = 3.0 - 14.( - 1 ) + 16

y( 7π ) = 14 + 16

Logo,

y( 7π ) = 30

Excelente estudo!

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