Considere o conjunto
[tex3]\frac{1}{m}-\frac{1}{n};m,n\in \mathbb{N}[/tex3]
Prove que [tex3]-1[/tex3]
e [tex3]1[/tex3]
são os ínfimo e o supremo desse conjunto, respectivamente, e que eles não pertencem ao conjunto.
Ensino Superior ⇒ ínfimo e supremo - Geraldo Álvila
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jul 2022
01
11:03
Re: ínfimo e supremo - Geraldo Álvila
Nosso conjunto de estudo é:
[tex3]X:=\left\{x_{n,m}=\frac{1}{m}-\frac{1}{n}:n,m\in\mathbb{N}\right\}[/tex3]
Agora, para um [tex3]x_{n,m}\in X[/tex3] qualquer, temos:
[tex3]x_{n,m}=\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\leq1-\frac{1}{n}<1[/tex3]
De onde segue que [tex3]\sup(X)\leq1[/tex3] . Similarmente, temos:
[tex3]x_{n,m}=\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\geq\frac{1}{m}-1>-1[/tex3]
E [tex3]\inf(X)\geq-1[/tex3] . Agora, vou usar o fato de que se [tex3]A\subseteq X[/tex3] , então [tex3]\inf(X)\leq\inf(A)\leq\sup(A)\leq\sup(X)[/tex3] . Consideramos os dois conjuntos:
[tex3]A:=\left\{x_{n,1}=1-\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\right\}\subseteq X[/tex3]
[tex3]B:=\left\{x_{1,m}=\frac{1}{m}-1:m\in\mathbb{N}\right\}\subseteq X[/tex3]
Temos então que [tex3]\sup(A)=1\leq\sup(X)[/tex3] e [tex3]\inf(B)=-1\geq\inf(X)[/tex3] . Portanto, [tex3]\sup(X)=1[/tex3] e [tex3]\inf(X)=-1[/tex3] . Que eles não pertencem ao conjunto [tex3]X[/tex3] já sabemos, pois mostramos acima que [tex3]-1< x_{n,m}<1[/tex3] .
[tex3]X:=\left\{x_{n,m}=\frac{1}{m}-\frac{1}{n}:n,m\in\mathbb{N}\right\}[/tex3]
Agora, para um [tex3]x_{n,m}\in X[/tex3] qualquer, temos:
[tex3]x_{n,m}=\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\leq1-\frac{1}{n}<1[/tex3]
De onde segue que [tex3]\sup(X)\leq1[/tex3] . Similarmente, temos:
[tex3]x_{n,m}=\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\geq\frac{1}{m}-1>-1[/tex3]
E [tex3]\inf(X)\geq-1[/tex3] . Agora, vou usar o fato de que se [tex3]A\subseteq X[/tex3] , então [tex3]\inf(X)\leq\inf(A)\leq\sup(A)\leq\sup(X)[/tex3] . Consideramos os dois conjuntos:
[tex3]A:=\left\{x_{n,1}=1-\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\right\}\subseteq X[/tex3]
[tex3]B:=\left\{x_{1,m}=\frac{1}{m}-1:m\in\mathbb{N}\right\}\subseteq X[/tex3]
Temos então que [tex3]\sup(A)=1\leq\sup(X)[/tex3] e [tex3]\inf(B)=-1\geq\inf(X)[/tex3] . Portanto, [tex3]\sup(X)=1[/tex3] e [tex3]\inf(X)=-1[/tex3] . Que eles não pertencem ao conjunto [tex3]X[/tex3] já sabemos, pois mostramos acima que [tex3]-1< x_{n,m}<1[/tex3] .
Última edição: fortran (Sex 01 Jul, 2022 18:45). Total de 3 vezes.
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