Ensino Superior

gabrielleSchn

A solução geral de certa EDO Linear, homogênea de 2ª ordem, com coeficientes constantes é: [tex3]y(x)=C_1e^{12x}+C_2e^{-6x}[/tex3] . Qual deve ser o valor de [tex3]C_1[/tex3] para que a solução seja tangente à reta y=4x, na origem?
RESPOSTA:

Resposta

0,22

Observe

Eba!!!! Mais uma questão com gabarito

Uma solução:

Queremos determinar o valor de C [tex3]_{1}[/tex3] da equação [tex3]y(x)=C_1e^{12x}+C_2e^{-6x}[/tex3] para que a mesma seja tangente à reta y = 4x no ponto ( 0 , 0 ).

Substituindo o ponto ( 0 , 0 ) em [tex3]y(x)=C_1e^{12x}+C_2e^{-6x}[/tex3] , pois esse ponto pertence a ela.

Assim: x = 0 e y = 0 em [tex3]y(x)=C_1e^{12x}+C_2e^{-6x}[/tex3] → 0 = C1.e⁰ + C2.e⁰ → C2 = - C1 ( I ).

Por outro lado, o coeficiente angular de y = 4x é m = 4.

Sabe-se também que

m = y'( x0 , y0 ) = (12x [tex3]_{0}[/tex3] )'.C1.e [tex3]^{12x_{0}}[/tex3] + ( - 6x [tex3]_{0}[/tex3] )'.C2.e [tex3]^{-6x_{0}}[/tex3] = 12.C1.e [tex3]^{12x_{0}}[/tex3] - 6.C2.e [tex3]^{-6x_{0}}[/tex3] , onde ( x0 , y0 ) = ( 0 , 0 ).

Então, substituindo , temos

4 = y'( 0 , 0 ) = 12.C1.e⁰ - 6.C2.e⁰

12C1 - 6C2 = 4

6C1 - 3C2 = 2 ( I I )

Resolvendo o sistema de equações ( I ) e ( I I ) temos que:

{ C2 = - C1
{ 6C1 - 3C2 = 2 → 6C1 + 3C1 = 2 → C1 = 2/9 → C [tex3]_{1}[/tex3] = 0,22

Portanto , C [tex3]_{1}[/tex3] = 0,22

Excelente estudo!

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