[tex3]y''+4y'+4y=15x+17[/tex3] tangente ao eixo [tex3]Ox[/tex3] no ponto de abscissa [tex3]x=0[/tex3] . Considere a aproximação e ~= 2.5 e calcule o valor da derivada [tex3]y'(1)[/tex3]
RESPOSTA:
Resposta
4,67
Ensino Superior ⇒ Solução EDO Tópico resolvido
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gabrielleSchn 
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Jun 2022
20
22:12
Solução EDO
Seja y(x) a solução da EDO:
[tex3]y''+4y'+4y=15x+17[/tex3] tangente ao eixo [tex3]Ox[/tex3] no ponto de abscissa [tex3]x=0[/tex3] . Considere a aproximação e ~= 2.5 e calcule o valor da derivada [tex3]y'(1)[/tex3]
RESPOSTA:
4,67
[tex3]y''+4y'+4y=15x+17[/tex3] tangente ao eixo [tex3]Ox[/tex3] no ponto de abscissa [tex3]x=0[/tex3] . Considere a aproximação e ~= 2.5 e calcule o valor da derivada [tex3]y'(1)[/tex3]
RESPOSTA:
4,67
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Cardoso1979 
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Jun 2022
21
19:11
Re: Solução EDO
Observe
Eba!!!! Mais uma questão com gabarito
Uma solução:
Temos a EDO y'' + 4y' + 4y = 0 e a sua equação auxiliar é
r² + 4r + 4 = 0
∆ = 0
Como ∆ = 0 ( duas raízes reais e iguais r1 = r2= - 2 ) , então
[tex3]y_{A} = C_{1}.e^{r_{1}.x } \ + \ C_{2}.x.e^{ r_{2}.x} [/tex3]
[tex3]y_{A} = C_{1}.e^{ - 2x } \ + \ C_{2}.x.e^{ - 2x} [/tex3]
A solução particular será do tipo :
yp = A.x + B ( Por quê ? )
Daí,
y'p = A → y''p = 0
Substituindo esses valores na EDO dada , resulta
4A.x + ( 4A + 4B ) = 15.x + 17
Comparando os termos e igualando os seus coeficientes correspondentes, obtemos
4A = 15 → A = 15/4
e
4A + 4B = 17 → 15 + 4B = 17 → B = 1/2
Logo,
yp = ( 15/4 ).x + ( 1/2 ).
Assim, a solução geral da EDO é:
y( x ) = yA + yp
[tex3]y( x ) = C_{1}.e^{ - 2x } \ + \ C_{2}.x.e^{ - 2x} + \frac{15x}{4} + \frac{1}{2}[/tex3] ( I )
Daqui em diante a solução segue o "mesmo" raciocínio da questão abaixo:
viewtopic.php?f=8&t=102660
Por isso, farei da forma direta, temos
Ponto de tangência ( 0 , 0 ) ( Por quê? ). Substituindo x = 0 e y = 0 em , obtemos
[tex3]C_{1} + \frac{1}{2} = 0 [/tex3] → C1= - 1/2. ( I I ).
Por outro lado, o coeficiente angular da reta y = 0 é m = 0.
Daí,
m = y'( x0 , y0 ) = [tex3]- 2C_{1}.e^{ - 2x_{0} } \ + \ C_{2}.e^{ - 2x_{0}} - 2C_{2}.x_{0}.e^{ - 2x_{0} } + \frac{15}{4} [/tex3] , onde ( x0 , y0 ) = ( 0 , 0 ).
Então, substituindo , fica;
- 1 + C2 + ( 15/4 ) = 0
C2 = - 19/4 ( I I I ).
Substituindo ( I I ) e ( I I I ) em ( I ) , resulta;
[tex3]y( x ) = - \frac{e^{ - 2x }}{2} - \frac{19e^{ - 2x } .x}{4} + \frac{15x}{4} + \frac{1}{2}[/tex3]
Derivando...
[tex3]y'( x ) = e^{ - 2x } + \frac{19e^{ - 2x } .x}{2} - \frac{19e^{ - 2x }}{ 4 }+ \frac{15}{4} [/tex3]
Calculando o valor de y'( 1 ) :
[tex3]y'( 1 ) = e^{ - 2 } + \frac{19e^{ - 2 } }{2} - \frac{19e^{ - 2 }}{ 4 }+ \frac{15}{4} [/tex3]
[tex3]y'( 1 ) = \frac{ 23e^{ - 2 }}{ 4 }+ \frac{15}{4} [/tex3]
y'( 1 ) = 0,92 + 3,75 = 4,67
Portanto, y'( 1 ) = 4,67
Excelente estudo!
Eba!!!! Mais uma questão com gabarito
Uma solução:
Temos a EDO y'' + 4y' + 4y = 0 e a sua equação auxiliar é
r² + 4r + 4 = 0
∆ = 0
Como ∆ = 0 ( duas raízes reais e iguais r1 = r2= - 2 ) , então
[tex3]y_{A} = C_{1}.e^{r_{1}.x } \ + \ C_{2}.x.e^{ r_{2}.x} [/tex3]
[tex3]y_{A} = C_{1}.e^{ - 2x } \ + \ C_{2}.x.e^{ - 2x} [/tex3]
A solução particular será do tipo :
yp = A.x + B ( Por quê ? )
Daí,
y'p = A → y''p = 0
Substituindo esses valores na EDO dada , resulta
4A.x + ( 4A + 4B ) = 15.x + 17
Comparando os termos e igualando os seus coeficientes correspondentes, obtemos
4A = 15 → A = 15/4
e
4A + 4B = 17 → 15 + 4B = 17 → B = 1/2
Logo,
yp = ( 15/4 ).x + ( 1/2 ).
Assim, a solução geral da EDO é:
y( x ) = yA + yp
[tex3]y( x ) = C_{1}.e^{ - 2x } \ + \ C_{2}.x.e^{ - 2x} + \frac{15x}{4} + \frac{1}{2}[/tex3] ( I )
Daqui em diante a solução segue o "mesmo" raciocínio da questão abaixo:
viewtopic.php?f=8&t=102660
Por isso, farei da forma direta, temos
Ponto de tangência ( 0 , 0 ) ( Por quê? ). Substituindo x = 0 e y = 0 em , obtemos
[tex3]C_{1} + \frac{1}{2} = 0 [/tex3] → C1= - 1/2. ( I I ).
Por outro lado, o coeficiente angular da reta y = 0 é m = 0.
Daí,
m = y'( x0 , y0 ) = [tex3]- 2C_{1}.e^{ - 2x_{0} } \ + \ C_{2}.e^{ - 2x_{0}} - 2C_{2}.x_{0}.e^{ - 2x_{0} } + \frac{15}{4} [/tex3] , onde ( x0 , y0 ) = ( 0 , 0 ).
Então, substituindo , fica;
- 1 + C2 + ( 15/4 ) = 0
C2 = - 19/4 ( I I I ).
Substituindo ( I I ) e ( I I I ) em ( I ) , resulta;
[tex3]y( x ) = - \frac{e^{ - 2x }}{2} - \frac{19e^{ - 2x } .x}{4} + \frac{15x}{4} + \frac{1}{2}[/tex3]
Derivando...
[tex3]y'( x ) = e^{ - 2x } + \frac{19e^{ - 2x } .x}{2} - \frac{19e^{ - 2x }}{ 4 }+ \frac{15}{4} [/tex3]
Calculando o valor de y'( 1 ) :
[tex3]y'( 1 ) = e^{ - 2 } + \frac{19e^{ - 2 } }{2} - \frac{19e^{ - 2 }}{ 4 }+ \frac{15}{4} [/tex3]
[tex3]y'( 1 ) = \frac{ 23e^{ - 2 }}{ 4 }+ \frac{15}{4} [/tex3]
y'( 1 ) = 0,92 + 3,75 = 4,67
Portanto, y'( 1 ) = 4,67
Excelente estudo!
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