[tex3]\int\limits_{2}^{7}\frac{dx}{(3-5x^2)}[/tex3]
Resultado: 0, 0223
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
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)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Ensino Superior ⇒ Como vocês resolveriam essa integral definida?
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jun 2022
07
11:34
Re: Como vocês resolveriam essa integral definida?
Resolvendo a integral indefinida: [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{dx}{3-5x^2}[/tex3]
utilizando a diferença de dois quadrados para fatorar o denominador: [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{dx}{(\sqrt{3} - \sqrt{5}x) (\sqrt{3} +\sqrt{5}x)}[/tex3]
Agora vamos quebrar em frações parciais o integrando: [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{dx}{(\sqrt{3} - \sqrt{5}x) (\sqrt{3} +\sqrt{5}x)} = \int\limits_{}^{}\frac{1}{2\sqrt{3}}(\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{5}x} + \frac{1}{\sqrt{3} +\sqrt{5}x})dx[/tex3]
Retirando a constante para fora do integrando, e divindo em duas equações chegamos em: [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{dx}{3-5x^2} = \frac{1}{2\sqrt{3}}\int\limits_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{3} + \sqrt{5}x} + \frac{1}{2\sqrt{3}}\int\limits_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{3} - \sqrt{5}x}[/tex3]
Para resolver a primeira integral vamos fazer a substituição: [tex3]u = \sqrt{5}x + \sqrt{3}[/tex3] e por consequência [tex3]du = \sqrt{5}dx[/tex3]
Assim obtemos na primeira integral: [tex3]\frac{1}{2\sqrt{3}}\frac{1}{\sqrt{5}}\int\limits_{}^{}\frac{du}{u} = \frac{1}{2\sqrt{15}}ln|u| + c1, c1\in R[/tex3]
Para resolver a segunda integral vamos fazer a substituição: [tex3]v = \sqrt{3} - \sqrt{5}x[/tex3] e por consequência [tex3]dv = -\sqrt{5}dx[/tex3]
Assim obtemos na segunda integral: [tex3]-\frac{1}{2\sqrt{3}}\frac{1}{\sqrt{5}}\int\limits_{
}^{}\frac{dv}{v} =-\frac{ln|v|}{2\sqrt{15}} + c2, c2\in R[/tex3]
Finalizando: [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{dx}{3-5x^2} = \frac{1}{2\sqrt{15}}ln|\frac{u}{v}| + C = \frac{1}{2\sqrt{15}}ln|\frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}x}{\sqrt{3} - \sqrt{5}x}| + C, C\in R[/tex3]
F(x) = [tex3]\frac{1}{2\sqrt{15}}ln|\frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}x}{\sqrt{3} - \sqrt{5}x}| + C[/tex3]
Uma vez a integral indefinida resolvida, basta fazer F(7) - F(2) e obter o resultado. Evidentemente as constantes C, c1 e c2 são irrelevantes para o problema.
utilizando a diferença de dois quadrados para fatorar o denominador: [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{dx}{(\sqrt{3} - \sqrt{5}x) (\sqrt{3} +\sqrt{5}x)}[/tex3]
Agora vamos quebrar em frações parciais o integrando: [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{dx}{(\sqrt{3} - \sqrt{5}x) (\sqrt{3} +\sqrt{5}x)} = \int\limits_{}^{}\frac{1}{2\sqrt{3}}(\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{5}x} + \frac{1}{\sqrt{3} +\sqrt{5}x})dx[/tex3]
Retirando a constante para fora do integrando, e divindo em duas equações chegamos em: [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{dx}{3-5x^2} = \frac{1}{2\sqrt{3}}\int\limits_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{3} + \sqrt{5}x} + \frac{1}{2\sqrt{3}}\int\limits_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{3} - \sqrt{5}x}[/tex3]
Para resolver a primeira integral vamos fazer a substituição: [tex3]u = \sqrt{5}x + \sqrt{3}[/tex3] e por consequência [tex3]du = \sqrt{5}dx[/tex3]
Assim obtemos na primeira integral: [tex3]\frac{1}{2\sqrt{3}}\frac{1}{\sqrt{5}}\int\limits_{}^{}\frac{du}{u} = \frac{1}{2\sqrt{15}}ln|u| + c1, c1\in R[/tex3]
Para resolver a segunda integral vamos fazer a substituição: [tex3]v = \sqrt{3} - \sqrt{5}x[/tex3] e por consequência [tex3]dv = -\sqrt{5}dx[/tex3]
Assim obtemos na segunda integral: [tex3]-\frac{1}{2\sqrt{3}}\frac{1}{\sqrt{5}}\int\limits_{
}^{}\frac{dv}{v} =-\frac{ln|v|}{2\sqrt{15}} + c2, c2\in R[/tex3]
Finalizando: [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{dx}{3-5x^2} = \frac{1}{2\sqrt{15}}ln|\frac{u}{v}| + C = \frac{1}{2\sqrt{15}}ln|\frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}x}{\sqrt{3} - \sqrt{5}x}| + C, C\in R[/tex3]
F(x) = [tex3]\frac{1}{2\sqrt{15}}ln|\frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}x}{\sqrt{3} - \sqrt{5}x}| + C[/tex3]
Uma vez a integral indefinida resolvida, basta fazer F(7) - F(2) e obter o resultado. Evidentemente as constantes C, c1 e c2 são irrelevantes para o problema.
Editado pela última vez por Shinjas em 07 Jun 2022, 14:23, em um total de 2 vezes.
-
Deleted User 28792
- Última visita: 31-12-69
Jun 2022
07
12:08
Re: Como vocês resolveriam essa integral definida?
Olá você poderia mostrar como ficaria fazendo F(7) - F(2) e veja se esse resultado bate com o esperado de 0,0223?Shinjas escreveu: ↑07 Jun 2022, 11:34 Resolvendo a integral indefinida: [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{dx}{3-5x^2}[/tex3]
utilizando a diferença de dois quadrados para fatorar o denominador: [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{dx}{(\sqrt{3} - \sqrt{5}x) (\sqrt{3} +\sqrt{5}x)}[/tex3]
Agora vamos quebrar em frações parciais o integrando: [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{dx}{(\sqrt{3} - \sqrt{5}x) (\sqrt{3} +\sqrt{5}x)} = \int\limits_{}^{}\frac{1}{\sqrt{3}}(\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{5}x} + \frac{1}{\sqrt{3} +\sqrt{5}x})dx[/tex3]
Retirando a constante para fora do integrando, e divindo em duas equações chegamos em: [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{dx}{3-5x^2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\int\limits_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{3} + \sqrt{5}x} + \frac{1}{\sqrt{3}}\int\limits_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{3} - \sqrt{5}x}[/tex3]
Para resolver a primeira integral vamos fazer a substituição: [tex3]u = \sqrt{5}x + \sqrt{3}[/tex3] e por consequência [tex3]du = \sqrt{5}dx[/tex3]
Assim obtemos na primeira integral: [tex3]\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{1}{\sqrt{5}}\int\limits_{}^{}\frac{du}{u} = \frac{1}{\sqrt{15}}ln|u| + c1, c1\in R[/tex3]
Para resolver a segunda integral vamos fazer a substituição: [tex3]v = \sqrt{3} - \sqrt{5}x[/tex3] e por consequência [tex3]dv = -\sqrt{5}dx[/tex3]
Assim obtemos na segunda integral: [tex3]-\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{1}{\sqrt{5}}\int\limits_{
}^{}\frac{dv}{v} =-\frac{ln|v|}{\sqrt{15}} + c2, c2\in R[/tex3]
Finalizando: [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{dx}{3-5x^2} = \frac{1}{\sqrt{15}}ln|\frac{u}{v}| + C = \frac{1}{\sqrt{15}}ln|\frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}x}{\sqrt{3} - \sqrt{5}x}| + C, C\in R[/tex3] [/tex3]
F(x) = [tex3]\frac{1}{\sqrt{15}}ln|\frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}x}{\sqrt{3} - \sqrt{5}x}| + C[/tex3]
Uma vez a integral indefinida resolvida, basta fazer F(7) - F(2) e obter o resultado. Evidentemente as constantes C, c1 e c2 são irrelevantes para o problema.
Jun 2022
07
14:20
Re: Como vocês resolveriam essa integral definida?
É o caso usar calculadora.Olá você poderia mostrar como ficaria fazendo F(7) - F(2) e veja se esse resultado bate com o esperado de 0,0223?
[tex3]\sqrt{5} = 2,2360679[/tex3] / [tex3]\sqrt{3} = 1,732050808[/tex3] / [tex3]\sqrt{15} = 3,872983346[/tex3]
[tex3]\sqrt{5}.7 + \sqrt{3} = 17,38452665[/tex3]
[tex3]|\sqrt{3} - \sqrt{5}.7| = 13,92042503[/tex3]
[tex3]ln(\frac{17,38452665}{13,92042503}) = 0,2222233494[/tex3]
[tex3]\sqrt{5}.2 + \sqrt{3} = 6,204186763[/tex3]
[tex3]|\sqrt{3} - \sqrt{5}.2| = 2,740085147[/tex3]
[tex3]ln(\frac{6,204186763}{2,740085147}) = 0,817235353[/tex3]
[tex3]F(7) = \frac{0,2222233494}{2\sqrt{15}} = 0,02868891105 [/tex3]
[tex3]F(2) = \frac{0,817235353}{2\sqrt{15}} = 0,1055046304[/tex3]
[tex3]F(7) - F(2) = -0,0768157193 [/tex3]
Esse valor de 0,0233 provavelmente está errado, até porque se você plotar o gráfico no intervalo entre 2 e 7 você verá que da uma área negativa.
-0,07681571935 é o valor certo para a integral apresentada.
Editado pela última vez por Shinjas em 07 Jun 2022, 14:22, em um total de 1 vez.
-
Deleted User 28792
- Última visita: 31-12-69
Jun 2022
13
20:42
Re: Como vocês resolveriam essa integral definida?
Como ficaria caso fosse da maneira abaixo? provavelmente encontraríamos o valor 0,223?
[tex3]\int\limits_{2}^{7}\frac{dx}{(3-5x)^2}[/tex3]
[tex3]\int\limits_{2}^{7}\frac{dx}{(3-5x)^2}[/tex3]
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