Ensino Superior ⇒ Equação diferencial ordinária de segunda ordem Tópico resolvido

[Stich]

Dada a solução [tex3]y_1=x^4[/tex3]

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[tex3]y_1=x^4[/tex3]

utilize a técnica da redução de ordem para resolver a seguinte E.D.O

[tex3]x^2\dfrac{d^2y}{dx^2}-7x\dfrac{dy}{dx}+16y=0[/tex3]

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[tex3]x^2\dfrac{d^2y}{dx^2}-7x\dfrac{dy}{dx}+16y=0[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Fazendo y = v.y [tex3]_{1}[/tex3]

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[tex3]_{1}[/tex3]

, ou seja , y = v.x⁴ , então

y' = v'.x⁴ + 4vx³ ;

y'' = v''x⁴ + 8v'x³ + 12vx²

Substituindo y = v.x⁴ , y' = v'.x⁴ + 4vx³ e y'' = v''x⁴ + 8v'x³ + 12vx² em x²y'' - 7xy' + 16y = 0 , obtemos

v''x⁶ + v'x⁵ = 0

Fazendo a seguinte mudança v' = t , vem;

t'x⁶ + tx⁵ = 0

[tex3]\frac{dt}{dx}x^6 [/tex3]

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[tex3]\frac{dt}{dx}x^6 [/tex3]

= - tx⁵

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{t}dt = - \int\limits_{}^{}\frac{1}{x}dx[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{t}dt = - \int\limits_{}^{}\frac{1}{x}dx[/tex3]

ln( t ) = - ln ( x )

Obs.1 Para efeito de cálculo iremos desconsiderar as constantes, ou seja , vamos sempre igualar as mesmas a zero(0). Eu não sei como está o seu gabarito ( se é q vc possui ) , se você considerar as constantes a solução irá ficar "estranha"..

Daí,

t = 1/x

Voltemos para v' = t , fica;

v' = 1/x

[tex3]\frac{dv}{dx}[/tex3]

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[tex3]\frac{dv}{dx}[/tex3]

= 1/x

[tex3]\int\limits_{}^{}dv = \int\limits_{}^{}\frac{1}{x}dx[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{}dv = \int\limits_{}^{}\frac{1}{x}dx[/tex3]

v = ln ( x )

Assim, a segunda solução ( ou segunda função ) será dada por

[tex3]y_{2} = y_{1}.v[/tex3]

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[tex3]y_{2} = y_{1}.v[/tex3]

[tex3]y_{2} [/tex3]

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[tex3]y_{2} [/tex3]

= x⁴.ln( x )

Obs.2 Você tem que verificar se as funções que nos interessa são L.I. , ou seja , verifique se as soluções
x⁴ e x⁴.ln(x) são linearmente independentes , usando o Wronskiano , o determinante tem que ser diferente de zero (0) , eu fiz aqui , e de fato é .


Logo , a solução para a EDO dada é y = [tex3]C_{1}.[/tex3]

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[tex3]C_{1}.[/tex3]

x⁴ + [tex3]C_{2}[/tex3]

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[tex3]C_{2}[/tex3]

.x⁴.ln( x ) .



Excelente estudo!

[Stich]

Meu Wronskiano deu x⁷, como garantir que ele é diferente de 0?

[Cardoso1979]

Meu Wronskiano deu x⁷.

Ok