Ensino Superior ⇒ (Guidorizzi) Estudo da Variação das Funções Tópico resolvido

[Deleted User 23699]

Seja f derivável até a 2ª ordem em R e tal que, para todo x, xf''(x)+f'(x)=4.
Mostre que f não admite ponto de inflexão horizontal.

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

I - Se x ≠ 0 , teremos :

x.f''( x ) + f'( x ) = 4

f''( x ) = [ 4 - f'( x ) ]/x

Como f é derivável , temos f' contínua. Já que a subtração e divisão de função contínuas é contínua, temos que f''( x ) = [ 4 - f'( x ) ]/x é contínua.

Logo, f" é contínua em todo x ≠ 0.


I I - Vamos supor agora, por contradição , que existe p
∈ IR tal que p é ponto de inflexão horizontal de f, e substituí-lo na equação dada no problema, fica;

x.f"( x ) + f'( x ) = 4

p.f"( p ) + f'( p ) = 4

Recorde-se de que , para p ser ponto de inflexão, devemos ter f"( p ) = 0. Além disso, como p é um ponto de inflexão horizontal, f'( p ) = 0. Então a equação ficará assim.

p.0 + 0 = 4

0 = 4

Que é uma contradição! Portanto, f não pode ter ponto de inflexão horizontal. C.q.m.


Excelente estudo!