Ensino Superior ⇒ Determine se cada integral é convergente ou divergente Tópico resolvido

[VitorLeonam]

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
A)[tex3]\int\limits_{-\infty }^{+\infty }[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{-\infty }^{+\infty }[/tex3]

[tex3]xe^{-x^{2}}[/tex3]

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[tex3]xe^{-x^{2}}[/tex3]

dx B)[tex3]\int\limits_{0}^{+\infty }dx[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{0}^{+\infty }dx[/tex3]

[tex3]sin^{2}\alpha [/tex3]

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[tex3]sin^{2}\alpha [/tex3]

[tex3]d\alpha [/tex3]

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[tex3]d\alpha [/tex3]

C) [tex3]\int\limits_{1}^{+\infty }[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{1}^{+\infty }[/tex3]

[tex3]\frac{1}{x^{2}+x}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{x^{2}+x}[/tex3]

dx D) [tex3]\int\limits_{-\infty }^{0}ze^{2z}[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{-\infty }^{0}ze^{2z}[/tex3]

dz E)[tex3]\int\limits_{0}^{9}[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{0}^{9}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}[/tex3]

dx F)[tex3]\int\limits_{0}^{3}\frac{dx}{x^{2}-6x+5}[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{0}^{3}\frac{dx}{x^{2}-6x+5}[/tex3]

[Cardoso1979]

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
A)[tex3]\int\limits_{-\infty }^{+\infty }xe^{-x^{2}} \ dx.[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{-\infty }^{+\infty }xe^{-x^{2}} \ dx.[/tex3]

.

Observe

Solução:

[tex3]\int\limits_{-\infty }^{+\infty }xe^{-x^{2}}\ dx = \int\limits_{-∞}^{0}xe^{-x^2}dx \ + \ \int\limits_{0}^{+∞}xe^{-x^2}dx [/tex3]

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[tex3]\int\limits_{-\infty }^{+\infty }xe^{-x^{2}}\ dx = \int\limits_{-∞}^{0}xe^{-x^2}dx \ + \ \int\limits_{0}^{+∞}xe^{-x^2}dx [/tex3]

.

[tex3]\int\limits_{-∞}^{0}xe^{-x^2}dx = \lim_{t \rightarrow - \infty} \left(- \frac{1}{2}\right).\left[e^{-x^2}\right]_t^0 = \lim_{t \rightarrow - \infty} \left[\left( - \frac{1}{2}\right).(1 - e^{-t^2} ) \right] = - \frac{1}{2}.1 = - \frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{-∞}^{0}xe^{-x^2}dx = \lim_{t \rightarrow - \infty} \left(- \frac{1}{2}\right).\left[e^{-x^2}\right]_t^0 = \lim_{t \rightarrow - \infty} \left[\left( - \frac{1}{2}\right).(1 - e^{-t^2} ) \right] = - \frac{1}{2}.1 = - \frac{1}{2}[/tex3]

e

[tex3]\int\limits_{0}^{+∞}xe^{-x^2}dx = \lim_{t \rightarrow + \infty} \left(- \frac{1}{2}\right).\left[e^{-x^2}\right]_0^t = \lim_{t \rightarrow + \infty} \left[\left( - \frac{1}{2}\right).( e^{-t^2} - 1 ) \right] = - \frac{1}{2}.( - 1) = \frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{0}^{+∞}xe^{-x^2}dx = \lim_{t \rightarrow + \infty} \left(- \frac{1}{2}\right).\left[e^{-x^2}\right]_0^t = \lim_{t \rightarrow + \infty} \left[\left( - \frac{1}{2}\right).( e^{-t^2} - 1 ) \right] = - \frac{1}{2}.( - 1) = \frac{1}{2}[/tex3]

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Portanto, [tex3]\int\limits_{-\infty }^{+\infty }xe^{-x^{2}} \ dx = - \frac{1}{2} \ + \ \frac{1}{2} =
0[/tex3]. Convergente.


Excelente estudo!