Ensino Superior ⇒ Integral tripla Tópico resolvido

[Stich]

Calcule o volume do conjunto dado por [tex3]B=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3|\,\,x^2+y^2\leq1\,\,\mbox{e}\,\,x^2+z^2\leq1\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]B=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3|\,\,x^2+y^2\leq1\,\,\mbox{e}\,\,x^2+z^2\leq1\}[/tex3]

.

Cheguei até aqui [tex3]8\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^1\sqrt{1-\rho^2 \cos^2\theta}\,\rho d\rho d\theta=\dfrac{8}{3}\left(\tg\theta-\cos\theta-\dfrac{1}{\cos\theta}\right)_0^{\frac{\pi}{2}}[/tex3]

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[tex3]8\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^1\sqrt{1-\rho^2 \cos^2\theta}\,\rho d\rho d\theta=\dfrac{8}{3}\left(\tg\theta-\cos\theta-\dfrac{1}{\cos\theta}\right)_0^{\frac{\pi}{2}}[/tex3]

Porém o [tex3]\dfrac{1}{\cos\theta}[/tex3]

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[tex3]\dfrac{1}{\cos\theta}[/tex3]

e a [tex3]\tg\theta[/tex3]

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[tex3]\tg\theta[/tex3]

não estão definidas para [tex3]\theta=\dfrac{\pi}{2}[/tex3]

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[tex3]\theta=\dfrac{\pi}{2}[/tex3]

Resposta

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[tex3]\dfrac{16}{3}[/tex3]

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[tex3]\dfrac{16}{3}[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

No meu ponto de vista, a melhor e mais eficiente maneira de se resolver este problema é usando coordenadas cartesianas ( retangulares ) mesmo. Do enunciado podemos extrair os seguintes limites de integração:

- 1 ≤ x ≤ 1 ; - √( 1 - x² ) ≤ y ≤ √( 1 - x² ) e - √( 1 - x² ) ≤ z ≤ √( 1 - x² ) .

Assim, o volume será dado por ;

[tex3]V = \int\limits_{-1}^{1}\int\limits_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\int\limits_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} dzdydx[/tex3]

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[tex3]V = \int\limits_{-1}^{1}\int\limits_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\int\limits_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} dzdydx[/tex3]

Ou

[tex3]V = 8.\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{\sqrt{1-x^2}}\int\limits_{0}^{\sqrt{1-x^2}} dzdydx[/tex3]

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[tex3]V = 8.\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{\sqrt{1-x^2}}\int\limits_{0}^{\sqrt{1-x^2}} dzdydx[/tex3]

[tex3]V = 8.\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{\sqrt{1-x^2}}\sqrt{1-x^2} dydx[/tex3]

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[tex3]V = 8.\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{\sqrt{1-x^2}}\sqrt{1-x^2} dydx[/tex3]

[tex3]V = 8.\int\limits_{0}^{1}(1-x^2) dx[/tex3]

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[tex3]V = 8.\int\limits_{0}^{1}(1-x^2) dx[/tex3]

[tex3]V = 8.[x - \frac{x^3}{3} ]_{0}^{1}[/tex3]

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[tex3]V = 8.[x - \frac{x^3}{3} ]_{0}^{1}[/tex3]

[tex3]V = 8.\left(1 - \frac{1}{3}\right)[/tex3]

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[tex3]V = 8.\left(1 - \frac{1}{3}\right)[/tex3]

[tex3]V = 8.\left(\frac{2}{3}\right)[/tex3]

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[tex3]V = 8.\left(\frac{2}{3}\right)[/tex3]

Logo,

[tex3]V = \frac{16}{3} \ u.v.[/tex3]

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[tex3]V = \frac{16}{3} \ u.v.[/tex3]

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Excelente estudo!