Verifique se cada sentença abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique
a-) [tex3]1+\sqrt{13}[/tex3] é um número irracional.
b-) Sejam [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] números reais. Se [tex3]a-2b[/tex3] é um número racional, então [tex3]a + b[/tex3] também é um número racional.
Ensino Superior ⇒ Conjuntos Numéricos Tópico resolvido
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Conjuntos Numéricos
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LostWalker 
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Jan 2022
27
01:04
Re: Conjuntos Numéricos
Questão a-)
Provar que [tex3]\boxed{1+\sqrt{13}}[/tex3] é irracional é o mesmo que provar que [tex3]\sqrt{13}[/tex3] é irracional, já que a soma de um irracional mais um racional é sempre irracional. Deixarei uma demonstração clássica no final sobre isso, mas retomando, para provar que [tex3]\sqrt{13}[/tex3] é irracional, vamos inicialmente afirmar que ele é racional, podendo ser representado pela divisão [tex3]\frac{p}{q}[/tex3] , onde [tex3]\boxed{p,q\in\mathbb{Q}\,\,|\,\,q\neq0,\,\mbox{mdc}(p,q)=1}[/tex3] .
[tex3]\frac{p}{q}=\sqrt{13}[/tex3]
[tex3]p=\sqrt{13}q\\p^2=13q^2[/tex3]
Logo, [tex3]\boxed{p^2=13k_1\,\,\,\,\{k_i\in\mathbb{Z}\}}[/tex3] , um múltiplo de [tex3]13[/tex3] . Como [tex3]13[/tex3] é primo, temos então que [tex3]\boxed{p=13k_2}[/tex3] . Substituindo o primeiro valor de volta:
[tex3]{\color{PineGreen}(13k_2)}^2=13q^2\\13^{\color{red}\cancel{\color{Black}2}}k_2^2={\color{Red}\cancel{\color{black}13}}q^2\\13k^2_2=q^2[/tex3]
Com o mesmo raciocínio anterior, podemos afirmar que [tex3]\boxed{q^2=13k_3\,\,\,\therefore\,\,\,q=13k_4}[/tex3] , entretanto, dizer isso significaria que [tex3]\mbox{mdc}(p,q)=\mbox{mdc}(13k_2,13k_4){\color{red}\,\,=\,\,}1[/tex3] . O que se trata de um absurdo. Logo, [tex3]\boxed{1+\sqrt{13}}[/tex3] é irracional.
Questão b-)
Nesse eu acho muito mais fácil pegar um contra exemplo. Primeiro escrever de forma bonita:
[tex3]\forall a,b\in\mathbb{R}\,|\,a-2b\in\mathbb{Q}\rightarrow a+b\in\mathbb{Q}[/tex3]
Temos o contra exemplo [tex3]a=2\sqrt{2},\,\,b=\sqrt{2}[/tex3] , por mais que para a primeira parte de [tex3]0\in\mathbb{Q}[/tex3] , para a segunda, [tex3]3\sqrt{2}\in\mathbb{I}[/tex3] , logo, o correto seria dizer:
[tex3]{\color{Red}\exists } a,b\in\mathbb{R}\,|\,a-2b\in\mathbb{Q}\rightarrow a+b\in\mathbb{Q}[/tex3]
Agora, se quiserem ser chatos e falar que você precisa provar essa nova definição:
[tex3]\forall a,b\in{\color{Red}\mathbb{Q}}\,|\,a-2b\in\mathbb{Q}\rightarrow a+b\in\mathbb{Q}[/tex3]
Sendo [tex3]\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}[/tex3] , temos que:
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{\exists a,b\in\mathbb{R}\,|\,a-2b\in\mathbb{Q}\rightarrow a+b\in\mathbb{Q}}[/tex3]
Demonstração da afirmação em a-)
Vou adiciona-la como um bônus. Sendo [tex3]a,b\in\mathbb{Q}[/tex3] e [tex3]x\in\mathbb{I}[/tex3] , vamos dizer que a soma de um racional com um irracional é igual a um racional. Considere as nomenclaturas manjadas de [tex3]p[/tex3] e [tex3]q[/tex3] que usei até agora:
[tex3]a+x=b\\x=b-a[/tex3]
[tex3]x=\frac{p_b}{q_b}-\frac{p_a}{q_a}[/tex3]
[tex3]x=\frac{q_ap_b-q_bp_a}{q_aq_b}[/tex3]
Porem, [tex3](q_ap_b-q_bp_a),q_aq_b\in\mathbb{Z}[/tex3] , afirmando que [tex3]x\in\mathbb{Q}[/tex3] , o que seria um absurdo. Dizer que a soma de um [racional + irracional = racional] é o mesmo que dizer que [racional + racional = irracional], e vendo por essa segunda forma, é bem intuitivo entender a afirmação.
Provar que [tex3]\boxed{1+\sqrt{13}}[/tex3] é irracional é o mesmo que provar que [tex3]\sqrt{13}[/tex3] é irracional, já que a soma de um irracional mais um racional é sempre irracional. Deixarei uma demonstração clássica no final sobre isso, mas retomando, para provar que [tex3]\sqrt{13}[/tex3] é irracional, vamos inicialmente afirmar que ele é racional, podendo ser representado pela divisão [tex3]\frac{p}{q}[/tex3] , onde [tex3]\boxed{p,q\in\mathbb{Q}\,\,|\,\,q\neq0,\,\mbox{mdc}(p,q)=1}[/tex3] .
[tex3]\frac{p}{q}=\sqrt{13}[/tex3]
[tex3]p=\sqrt{13}q\\p^2=13q^2[/tex3]
Logo, [tex3]\boxed{p^2=13k_1\,\,\,\,\{k_i\in\mathbb{Z}\}}[/tex3] , um múltiplo de [tex3]13[/tex3] . Como [tex3]13[/tex3] é primo, temos então que [tex3]\boxed{p=13k_2}[/tex3] . Substituindo o primeiro valor de volta:
[tex3]{\color{PineGreen}(13k_2)}^2=13q^2\\13^{\color{red}\cancel{\color{Black}2}}k_2^2={\color{Red}\cancel{\color{black}13}}q^2\\13k^2_2=q^2[/tex3]
Com o mesmo raciocínio anterior, podemos afirmar que [tex3]\boxed{q^2=13k_3\,\,\,\therefore\,\,\,q=13k_4}[/tex3] , entretanto, dizer isso significaria que [tex3]\mbox{mdc}(p,q)=\mbox{mdc}(13k_2,13k_4){\color{red}\,\,=\,\,}1[/tex3] . O que se trata de um absurdo. Logo, [tex3]\boxed{1+\sqrt{13}}[/tex3] é irracional.
Questão b-)
Nesse eu acho muito mais fácil pegar um contra exemplo. Primeiro escrever de forma bonita:
[tex3]\forall a,b\in\mathbb{R}\,|\,a-2b\in\mathbb{Q}\rightarrow a+b\in\mathbb{Q}[/tex3]
Temos o contra exemplo [tex3]a=2\sqrt{2},\,\,b=\sqrt{2}[/tex3] , por mais que para a primeira parte de [tex3]0\in\mathbb{Q}[/tex3] , para a segunda, [tex3]3\sqrt{2}\in\mathbb{I}[/tex3] , logo, o correto seria dizer:
[tex3]{\color{Red}\exists } a,b\in\mathbb{R}\,|\,a-2b\in\mathbb{Q}\rightarrow a+b\in\mathbb{Q}[/tex3]
Agora, se quiserem ser chatos e falar que você precisa provar essa nova definição:
[tex3]\forall a,b\in{\color{Red}\mathbb{Q}}\,|\,a-2b\in\mathbb{Q}\rightarrow a+b\in\mathbb{Q}[/tex3]
Sendo [tex3]\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}[/tex3] , temos que:
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{\exists a,b\in\mathbb{R}\,|\,a-2b\in\mathbb{Q}\rightarrow a+b\in\mathbb{Q}}[/tex3]
Demonstração da afirmação em a-)
Vou adiciona-la como um bônus. Sendo [tex3]a,b\in\mathbb{Q}[/tex3] e [tex3]x\in\mathbb{I}[/tex3] , vamos dizer que a soma de um racional com um irracional é igual a um racional. Considere as nomenclaturas manjadas de [tex3]p[/tex3] e [tex3]q[/tex3] que usei até agora:
[tex3]a+x=b\\x=b-a[/tex3]
[tex3]x=\frac{p_b}{q_b}-\frac{p_a}{q_a}[/tex3]
[tex3]x=\frac{q_ap_b-q_bp_a}{q_aq_b}[/tex3]
Porem, [tex3](q_ap_b-q_bp_a),q_aq_b\in\mathbb{Z}[/tex3] , afirmando que [tex3]x\in\mathbb{Q}[/tex3] , o que seria um absurdo. Dizer que a soma de um [racional + irracional = racional] é o mesmo que dizer que [racional + racional = irracional], e vendo por essa segunda forma, é bem intuitivo entender a afirmação.
Última edição: LostWalker (Qui 27 Jan, 2022 01:08). Total de 3 vezes.
Razão: correções gramaticáis e ajustes
Razão: correções gramaticáis e ajustes
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly
-Melly
Jan 2022
27
07:01
Re: Conjuntos Numéricos
Muito obrigado.LostWalker escreveu: ↑Qui 27 Jan, 2022 01:04Questão a-)
Provar que [tex3]\boxed{1+\sqrt{13}}[/tex3] é irracional é o mesmo que provar que [tex3]\sqrt{13}[/tex3] é irracional, já que a soma de um irracional mais um racional é sempre irracional. Deixarei uma demonstração clássica no final sobre isso, mas retomando, para provar que [tex3]\sqrt{13}[/tex3] é irracional, vamos inicialmente afirmar que ele é racional, podendo ser representado pela divisão [tex3]\frac{p}{q}[/tex3] , onde [tex3]\boxed{p,q\in\mathbb{Q}\,\,|\,\,q\neq0,\,\mbox{mdc}(p,q)=1}[/tex3] .
[tex3]\frac{p}{q}=\sqrt{13}[/tex3]
[tex3]p=\sqrt{13}q\\p^2=13q^2[/tex3]
Logo, [tex3]\boxed{p^2=13k_1\,\,\,\,\{k_i\in\mathbb{Z}\}}[/tex3] , um múltiplo de [tex3]13[/tex3] . Como [tex3]13[/tex3] é primo, temos então que [tex3]\boxed{p=13k_2}[/tex3] . Substituindo o primeiro valor de volta:
[tex3]{\color{PineGreen}(13k_2)}^2=13q^2\\13^{\color{red}\cancel{\color{Black}2}}k_2^2={\color{Red}\cancel{\color{black}13}}q^2\\13k^2_2=q^2[/tex3]
Com o mesmo raciocínio anterior, podemos afirmar que [tex3]\boxed{q^2=13k_3\,\,\,\therefore\,\,\,q=13k_4}[/tex3] , entretanto, dizer isso significaria que [tex3]\mbox{mdc}(p,q)=\mbox{mdc}(13k_2,13k_4){\color{red}\,\,=\,\,}1[/tex3] . O que se trata de um absurdo. Logo, [tex3]\boxed{1+\sqrt{13}}[/tex3] é irracional.
Questão b-)
Nesse eu acho muito mais fácil pegar um contra exemplo. Primeiro escrever de forma bonita:
[tex3]\forall a,b\in\mathbb{R}\,|\,a-2b\in\mathbb{Q}\rightarrow a+b\in\mathbb{Q}[/tex3]
Temos o contra exemplo [tex3]a=2\sqrt{2},\,\,b=\sqrt{2}[/tex3] , por mais que para a primeira parte de [tex3]0\in\mathbb{Q}[/tex3] , para a segunda, [tex3]3\sqrt{2}\in\mathbb{I}[/tex3] , logo, o correto seria dizer:
[tex3]{\color{Red}\exists } a,b\in\mathbb{R}\,|\,a-2b\in\mathbb{Q}\rightarrow a+b\in\mathbb{Q}[/tex3]
Agora, se quiserem ser chatos e falar que você precisa provar essa nova definição:
[tex3]\forall a,b\in{\color{Red}\mathbb{Q}}\,|\,a-2b\in\mathbb{Q}\rightarrow a+b\in\mathbb{Q}[/tex3]
Sendo [tex3]\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}[/tex3] , temos que:
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{\exists a,b\in\mathbb{R}\,|\,a-2b\in\mathbb{Q}\rightarrow a+b\in\mathbb{Q}}[/tex3]
Demonstração da afirmação em a-)
Vou adiciona-la como um bônus. Sendo [tex3]a,b\in\mathbb{Q}[/tex3] e [tex3]x\in\mathbb{I}[/tex3] , vamos dizer que a soma de um racional com um irracional é igual a um racional. Considere as nomenclaturas manjadas de [tex3]p[/tex3] e [tex3]q[/tex3] que usei até agora:
[tex3]a+x=b\\x=b-a[/tex3]
[tex3]x=\frac{p_b}{q_b}-\frac{p_a}{q_a}[/tex3]
[tex3]x=\frac{q_ap_b-q_bp_a}{q_aq_b}[/tex3]
Porem, [tex3](q_ap_b-q_bp_a),q_aq_b\in\mathbb{Z}[/tex3] , afirmando que [tex3]x\in\mathbb{Q}[/tex3] , o que seria um absurdo. Dizer que a soma de um [racional + irracional = racional] é o mesmo que dizer que [racional + racional = irracional], e vendo por essa segunda forma, é bem intuitivo entender a afirmação.
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