Seja a transformação linear T : [tex3]\mathbb{R}^2[/tex3]
Mostre que os vetores [tex3]v1 = (-2,3){}[/tex3]
e [tex3]v2 = (1,-2){}[/tex3]
formam uma base do [tex3]\mathbb{R}^2[/tex3]
e determine N(T) e Im(T)
[tex3]\rightarrow [/tex3]
[tex3]\mathbb{R}^3[/tex3]
tal que T (−2,3) = (−1,0,1) e T (1,−2) = (0,−1,0).Ensino Superior ⇒ Transformação Linear Tópico resolvido
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Transformação Linear
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Re: Transformação Linear
[tex3]v_1=(-2,3)[/tex3]
Sabendo que [tex3]\dim \mathbb R^2=2[/tex3] e como [tex3]B=\{v_1,v_2\}[/tex3] é um conjunto de dois vetores, portanto basta provar que [tex3]B[/tex3] é li para concluir que é base.
Sejam [tex3]a,b\in\mathbb R[/tex3] tais que
[tex3]av_1+bv_2=\vec0\\
a(-2,3)+b(1,-2)=(0,0)\\
(-2a+b,3a-2b)=(0,0)\\
\implies \begin{cases}-2a+b=0\implies b=2a\\
3a-2b=0\end{cases}\\
\implies 3a-4a=0\\\implies a=0\\\\
\implies a=b=0[/tex3]
Portanto, [tex3]B=\{v_1,v_2\}[/tex3] é li e base de [tex3]\mathbb R^2[/tex3] .
Como [tex3]B=\{v_1,v_2\}[/tex3] é base de [tex3]\mathbb R^2[/tex3] , temos que [tex3]\{T(v_1),T(v_2)\}=\{(-1,0,1),(0,-1,0)\}[/tex3] é conjunto gerador de [tex3]Im(T)[/tex3] , ou seja, [tex3]Im(T)=span\{(-1,0,1),(0,-1,0)\}=\{(-x,-y,x):x,y\in\mathbb R\}[/tex3] .
Dados [tex3]c,d\in\mathbb R[/tex3] tais que
[tex3]c(-1,0,1)+d(0,-1,0)=(0,0,0)\\\implies (-c,-d,c)=(0,0,0)\\
\implies c=d=0[/tex3]
[tex3]\implies\{(-1,0,1),(0,-1,0)\} [/tex3] é li, logo [tex3]\dim Im(T)=2[/tex3] .
Pelo teorema do núcleo imagem [tex3]\dim \mathbb R^2=\dim Im(T)+\dim N(T)[/tex3] , então:
[tex3]2=2+\dim N(T)\\\implies \dim N(T)=0[/tex3]
Portanto, [tex3]N(T)=\{(0,0)\}[/tex3] .
Espero ter ajudado.
e [tex3]v_2=(1,-2)[/tex3]
Sabendo que [tex3]\dim \mathbb R^2=2[/tex3] e como [tex3]B=\{v_1,v_2\}[/tex3] é um conjunto de dois vetores, portanto basta provar que [tex3]B[/tex3] é li para concluir que é base.
Sejam [tex3]a,b\in\mathbb R[/tex3] tais que
[tex3]av_1+bv_2=\vec0\\
a(-2,3)+b(1,-2)=(0,0)\\
(-2a+b,3a-2b)=(0,0)\\
\implies \begin{cases}-2a+b=0\implies b=2a\\
3a-2b=0\end{cases}\\
\implies 3a-4a=0\\\implies a=0\\\\
\implies a=b=0[/tex3]
Portanto, [tex3]B=\{v_1,v_2\}[/tex3] é li e base de [tex3]\mathbb R^2[/tex3] .
Como [tex3]B=\{v_1,v_2\}[/tex3] é base de [tex3]\mathbb R^2[/tex3] , temos que [tex3]\{T(v_1),T(v_2)\}=\{(-1,0,1),(0,-1,0)\}[/tex3] é conjunto gerador de [tex3]Im(T)[/tex3] , ou seja, [tex3]Im(T)=span\{(-1,0,1),(0,-1,0)\}=\{(-x,-y,x):x,y\in\mathbb R\}[/tex3] .
Dados [tex3]c,d\in\mathbb R[/tex3] tais que
[tex3]c(-1,0,1)+d(0,-1,0)=(0,0,0)\\\implies (-c,-d,c)=(0,0,0)\\
\implies c=d=0[/tex3]
[tex3]\implies\{(-1,0,1),(0,-1,0)\} [/tex3] é li, logo [tex3]\dim Im(T)=2[/tex3] .
Pelo teorema do núcleo imagem [tex3]\dim \mathbb R^2=\dim Im(T)+\dim N(T)[/tex3] , então:
[tex3]2=2+\dim N(T)\\\implies \dim N(T)=0[/tex3]
Portanto, [tex3]N(T)=\{(0,0)\}[/tex3] .
Espero ter ajudado.
Saudações.
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