Ensino Superior

Olá pessoal, eu estou tentando desenvolver uma demonstração aqui, mas encontro certas dificuldades.. O enunciado da demonstração é o seguinte:
Dada uma função [tex3]f:A \rightarrow B[/tex3] , temos [tex3]f^{-1}(B)=A[/tex3]

O que eu já tinha feito:
Temos [tex3]x \in A \Longleftrightarrow f(x) \in B \Longleftrightarrow x \in f^{-1}(B)[/tex3] , daí [tex3]A \subset f^{-1}(B)[/tex3] , por outro lado temos também [tex3]f^{-1}(B) \subset A[/tex3] , as duas inclusões mostram que [tex3]f^{-1}(B)=A[/tex3]

A dúvida é porque pra equivalencia [tex3]x \in A \Longleftrightarrow f(x) \in B[/tex3] ser válida, a [tex3]f[/tex3] precisa ser injetiva, mas dá pra ter uma demonstração sem ela ser injetiva? Me perdoem a pergunta boba é porque realmente eu não sei

Não. Pense assim:

Temos [tex3]a\neq b\,\,|\,\, f(a)=f(b)=c[/tex3] , logo, [tex3]f^{-1}(c)=a[/tex3] e [tex3]f^{-1}(c)=b[/tex3] , logo, [tex3]a=b[/tex3] , o que seria um absurdo.

LostWalker escreveu: ↑
Dom 23 Jan, 2022 21:51
Não. Pense assim:

Temos [tex3]a\neq b\,\,|\,\, f(a)=f(b)=c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a\neq b\,\,|\,\, f(a)=f(b)=c[/tex3]

, logo, [tex3]f^{-1}(c)=a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f^{-1}(c)=a[/tex3]

e [tex3]f^{-1}(c)=b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f^{-1}(c)=b[/tex3]

, logo, [tex3]a=b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=b[/tex3]

, o que seria um absurdo.

LostWalker, muito obrigado pela contribuição, mas acho que isso não responde muito bem a minha dúvida, eu estou achando que a [tex3]f[/tex3] ser injetiva é mesmo uma condição necessária e suficiente para provar que [tex3]f^{-1}(B)=A[/tex3] , eu digo isso porque o problema por hipotese não diz que a [tex3]f[/tex3] é injetiva, então teria que de alguma forma utilizar só a hipótese dada pra concluir que [tex3]f^{-1}(B)=A[/tex3] , mas não sei se é possível (ou não consigo mesmo), mas muito obrigado de qualquer forma. Digo isso porque algumas demontrações com imagem inversa da função não necessariamente precisa ter [tex3]f[/tex3] injetiva pra demonstração ser válida.

Marquest, na verdade, agora chamou minha atenção. Ao que eu lembra do estudo de conjuntos, para que um função seja inversível, é necessário que ela seja bijetora (injetora e sobrejetora). A menos que seja uma análise de um conjunto diferente do que eu tenho em mente.

LostWalker escreveu: ↑
Dom 23 Jan, 2022 23:36
Marquest, na verdade, agora chamou minha atenção. Ao que eu lembra do estudo de conjuntos, para que um função seja inversível, é necessário que ela seja bijetora (injetora e sobrejetora). A menos que seja uma análise de um conjunto diferente do que eu tenho em mente.

Pois bem, na verdade essa é uma imagem inversa de um conjunto dado por uma função não necessariamente a função precisa ser bijetiva, vou dar um exemplo nessa mesma questão que to querendo fazer e pode até exclarecer o que to querendo dizer, se eu disser que [tex3]x \in A \implies f(x) \in B \implies x \in f^{-1}(B)[/tex3] , estou tomando qualquer elemento de [tex3]A[/tex3] que está também em [tex3]f^{-1}(B)[/tex3] , disso eu concluo que [tex3]A \subset f^{-1}(B)[/tex3] , mas não vale a inclusão oposta, então se eu tomar [tex3]x \in f^{-1}(B)[/tex3] eu não iria chegar em que [tex3]x \in A[/tex3] , porque como a função não é injetiva, teria [tex3]f(x) \in B \nRightarrow x \in A[/tex3] , impossibilitando provar que [tex3]f^{-1}(B)=A[/tex3] , porém se fosse pra provar que [tex3]A \subset f^{-1}(B)[/tex3] , então [tex3]f[/tex3] não precisa ser injetiva pra isso ser verdade.

Não precisa ser bijetora? essa é uma inversa lateral então? Elas só existem ou se f for injetiva ou se f for sobrejetora.

FelipeMartin escreveu: ↑
Seg 24 Jan, 2022 00:55
Não precisa ser bijetora? essa é uma inversa lateral então? Elas só existem ou se f for injetiva ou se f for sobrejetora.

Vou desistir dessa demonstração, porque nem to conseguindo entender o que eu fiz, mas obrigado pelas contribuições pessoal

Marquest, https://www.youtube.com/watch?v=E7av8OZdIGg

Opa pessoal, com uma ajuda do meu professor agora consegui fazer uma solução boa, mas muito obrigado pelas contribuições, está aqui:

Temos [tex3]x \in A \implies f(x) \in B \implies x \in f^{-1}(B)[/tex3] , daí temos que [tex3]A \subset f^{-1}(B)[/tex3] , mas temos também por definição que [tex3]f^{-1}(B) \subset A[/tex3] , concluimos então que [tex3]f^{-1}(B)=A[/tex3]

Solução ficou mais simples e correta agora, valeu pessoal!

Marquest, mas é inversa mesmo ou é pré-imagem?

Ensino Superior ⇒ Duvida em uma demonstração de funções inversas Tópico resolvido

Duvida em uma demonstração de funções inversas

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