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Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Ensino Superior ⇒ Duvida em uma demonstração de funções inversas Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jan 2022
23
21:15
Duvida em uma demonstração de funções inversas
Olá pessoal, eu estou tentando desenvolver uma demonstração aqui, mas encontro certas dificuldades.. O enunciado da demonstração é o seguinte:
Dada uma função [tex3]f:A \rightarrow B[/tex3] , temos [tex3]f^{-1}(B)=A[/tex3]
O que eu já tinha feito:
Temos [tex3]x \in A \Longleftrightarrow f(x) \in B \Longleftrightarrow x \in f^{-1}(B)[/tex3] , daí [tex3]A \subset f^{-1}(B)[/tex3] , por outro lado temos também [tex3]f^{-1}(B) \subset A[/tex3] , as duas inclusões mostram que [tex3]f^{-1}(B)=A[/tex3]
A dúvida é porque pra equivalencia [tex3]x \in A \Longleftrightarrow f(x) \in B[/tex3] ser válida, a [tex3]f[/tex3] precisa ser injetiva, mas dá pra ter uma demonstração sem ela ser injetiva? Me perdoem a pergunta boba é porque realmente eu não sei
Dada uma função [tex3]f:A \rightarrow B[/tex3] , temos [tex3]f^{-1}(B)=A[/tex3]
O que eu já tinha feito:
Temos [tex3]x \in A \Longleftrightarrow f(x) \in B \Longleftrightarrow x \in f^{-1}(B)[/tex3] , daí [tex3]A \subset f^{-1}(B)[/tex3] , por outro lado temos também [tex3]f^{-1}(B) \subset A[/tex3] , as duas inclusões mostram que [tex3]f^{-1}(B)=A[/tex3]
A dúvida é porque pra equivalencia [tex3]x \in A \Longleftrightarrow f(x) \in B[/tex3] ser válida, a [tex3]f[/tex3] precisa ser injetiva, mas dá pra ter uma demonstração sem ela ser injetiva? Me perdoem a pergunta boba é porque realmente eu não sei
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Jan 2022
23
21:51
Re: Duvida em uma demonstração de funções inversas
Não. Pense assim:
Temos [tex3]a\neq b\,\,|\,\, f(a)=f(b)=c[/tex3] , logo, [tex3]f^{-1}(c)=a[/tex3] e [tex3]f^{-1}(c)=b[/tex3] , logo, [tex3]a=b[/tex3] , o que seria um absurdo.
Temos [tex3]a\neq b\,\,|\,\, f(a)=f(b)=c[/tex3] , logo, [tex3]f^{-1}(c)=a[/tex3] e [tex3]f^{-1}(c)=b[/tex3] , logo, [tex3]a=b[/tex3] , o que seria um absurdo.
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly
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Jan 2022
23
23:11
Re: Duvida em uma demonstração de funções inversas
LostWalker, muito obrigado pela contribuição, mas acho que isso não responde muito bem a minha dúvida, eu estou achando que a [tex3]f[/tex3] ser injetiva é mesmo uma condição necessária e suficiente para provar que [tex3]f^{-1}(B)=A[/tex3] , eu digo isso porque o problema por hipotese não diz que a [tex3]f[/tex3] é injetiva, então teria que de alguma forma utilizar só a hipótese dada pra concluir que [tex3]f^{-1}(B)=A[/tex3] , mas não sei se é possível (ou não consigo mesmo), mas muito obrigado de qualquer forma. Digo isso porque algumas demontrações com imagem inversa da função não necessariamente precisa ter [tex3]f[/tex3] injetiva pra demonstração ser válida.LostWalker escreveu: ↑23 Jan 2022, 21:51 Não. Pense assim:
Temos [tex3]a\neq b\,\,|\,\, f(a)=f(b)=c[/tex3] , logo, [tex3]f^{-1}(c)=a[/tex3] e [tex3]f^{-1}(c)=b[/tex3] , logo, [tex3]a=b[/tex3] , o que seria um absurdo.
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Jan 2022
23
23:36
Re: Duvida em uma demonstração de funções inversas
Marquest, na verdade, agora chamou minha atenção. Ao que eu lembra do estudo de conjuntos, para que um função seja inversível, é necessário que ela seja bijetora (injetora e sobrejetora). A menos que seja uma análise de um conjunto diferente do que eu tenho em mente.
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly
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Jan 2022
24
00:09
Re: Duvida em uma demonstração de funções inversas
Pois bem, na verdade essa é uma imagem inversa de um conjunto dado por uma função não necessariamente a função precisa ser bijetiva, vou dar um exemplo nessa mesma questão que to querendo fazer e pode até exclarecer o que to querendo dizer, se eu disser que [tex3]x \in A \implies f(x) \in B \implies x \in f^{-1}(B)[/tex3] , estou tomando qualquer elemento de [tex3]A[/tex3] que está também em [tex3]f^{-1}(B)[/tex3] , disso eu concluo que [tex3]A \subset f^{-1}(B)[/tex3] , mas não vale a inclusão oposta, então se eu tomar [tex3]x \in f^{-1}(B)[/tex3] eu não iria chegar em que [tex3]x \in A[/tex3] , porque como a função não é injetiva, teria [tex3]f(x) \in B \nRightarrow x \in A[/tex3] , impossibilitando provar que [tex3]f^{-1}(B)=A[/tex3] , porém se fosse pra provar que [tex3]A \subset f^{-1}(B)[/tex3] , então [tex3]f[/tex3] não precisa ser injetiva pra isso ser verdade.LostWalker escreveu: ↑23 Jan 2022, 23:36 Marquest, na verdade, agora chamou minha atenção. Ao que eu lembra do estudo de conjuntos, para que um função seja inversível, é necessário que ela seja bijetora (injetora e sobrejetora). A menos que seja uma análise de um conjunto diferente do que eu tenho em mente.
Editado pela última vez por Marquest em 24 Jan 2022, 00:12, em um total de 3 vezes.
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Jan 2022
24
00:55
Re: Duvida em uma demonstração de funções inversas
Não precisa ser bijetora? essa é uma inversa lateral então? Elas só existem ou se f for injetiva ou se f for sobrejetora.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
Jan 2022
24
13:01
Re: Duvida em uma demonstração de funções inversas
Vou desistir dessa demonstração, porque nem to conseguindo entender o que eu fiz, mas obrigado pelas contribuições pessoalFelipeMartin escreveu: ↑24 Jan 2022, 00:55 Não precisa ser bijetora? essa é uma inversa lateral então? Elas só existem ou se f for injetiva ou se f for sobrejetora.
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Jan 2022
24
13:03
Re: Duvida em uma demonstração de funções inversas
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Jan 2022
25
10:14
Re: Duvida em uma demonstração de funções inversas
Opa pessoal, com uma ajuda do meu professor agora consegui fazer uma solução boa, mas muito obrigado pelas contribuições, está aqui:
Temos [tex3]x \in A \implies f(x) \in B \implies x \in f^{-1}(B)[/tex3] , daí temos que [tex3]A \subset f^{-1}(B)[/tex3] , mas temos também por definição que [tex3]f^{-1}(B) \subset A[/tex3] , concluimos então que [tex3]f^{-1}(B)=A[/tex3]
Solução ficou mais simples e correta agora, valeu pessoal!
Temos [tex3]x \in A \implies f(x) \in B \implies x \in f^{-1}(B)[/tex3] , daí temos que [tex3]A \subset f^{-1}(B)[/tex3] , mas temos também por definição que [tex3]f^{-1}(B) \subset A[/tex3] , concluimos então que [tex3]f^{-1}(B)=A[/tex3]
Solução ficou mais simples e correta agora, valeu pessoal!
Editado pela última vez por Marquest em 25 Jan 2022, 15:06, em um total de 1 vez.
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Jan 2022
26
09:09
Re: Duvida em uma demonstração de funções inversas
Marquest, mas é inversa mesmo ou é pré-imagem?
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