Ensino SuperiorGeometria Euclidiana Plana Tópico resolvido

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Idocrase
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Jan 2022 20 17:56

Geometria Euclidiana Plana

Mensagem não lida por Idocrase »

Mostre que as diagonais de um quadrilátero cortam-se em seus pontos médios se, e somente se, o quadrilátero for um paralelogramo.




goncalves3718
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Re: Geometria Euclidiana Plana

Mensagem não lida por goncalves3718 »

Seja [tex3]ABCD[/tex3] um paralelogramo e seja [tex3]M[/tex3] o ponto de encontro das diagonais.
Por paralelismo, [tex3]B\hat{C}A= D\hat{A}C = \alpha[/tex3] (alternos internos).
Novamente, pelo mesmo motivo, [tex3]A\hat{D}B = C\hat{B}D = \theta[/tex3] .

Tem-se então um caso de congruências de triângulos A.LA ([tex3]\Delta ADM \equiv \Delta CBM[/tex3] ).
Daí [tex3]AM=MC[/tex3] e [tex3]DM=MB[/tex3] .

Agora, falta provar que dado um quadrilátero em que as diagonais cortam-se em seus pontos médios, este quadrilátero tem lados paralelos.
Usando o mesmo raciocínio (congruência, alternos internos) você prova também!

Caso tenha dificuldades na segunda parte, pode falar que eu te ajudo!

Última edição: goncalves3718 (Qui 20 Jan, 2022 19:58). Total de 1 vez.



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Jan 2022 20 21:54

Re: Geometria Euclidiana Plana

Mensagem não lida por Idocrase »

goncalves3718 escreveu:
Qui 20 Jan, 2022 19:56
Seja [tex3]ABCD[/tex3] um paralelogramo e seja [tex3]M[/tex3] o ponto de encontro das diagonais.
Por paralelismo, [tex3]B\hat{C}A= D\hat{A}C = \alpha[/tex3] (alternos internos).
Novamente, pelo mesmo motivo, [tex3]A\hat{D}B = C\hat{B}D = \theta[/tex3] .

Tem-se então um caso de congruências de triângulos A.LA ([tex3]\Delta ADM \equiv \Delta CBM[/tex3] ).
Daí [tex3]AM=MC[/tex3] e [tex3]DM=MB[/tex3] .

Agora, falta provar que dado um quadrilátero em que as diagonais cortam-se em seus pontos médios, este quadrilátero tem lados paralelos.
Usando o mesmo raciocínio (congruência, alternos internos) você prova também!

Caso tenha dificuldades na segunda parte, pode falar que eu te ajudo!
Muito obrigado.




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