Ensino Superior ⇒ Geometria Euclidiana Plana Tópico resolvido

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Idocrase
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Jan 2022 19 07:40

Geometria Euclidiana Plana

Mensagem não lidapor Idocrase » Qua 19 Jan, 2022 07:40

Mensagem não lida por Idocrase »

Alguém poderia me ajudar por favor? Como fazer para demonstrar?

Mostre que, entre todos os triângulos de mesma base e mesma altura relativa, o triângulo isósceles é o que tem o menor perímetro.


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deOliveira
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Jan 2022 19 17:50

Re: Geometria Euclidiana Plana

Mensagem não lidapor deOliveira » Qua 19 Jan, 2022 17:50

Mensagem não lida por deOliveira »

Sejam [tex3]A[/tex3] , [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] os vértices do triângulo, em que o segmento [tex3]AB[/tex3] é a base.
Seja [tex3]b[/tex3] e [tex3]h[/tex3] a medida da base e da altura do triângulo respectivamente.
Seja [tex3]x[/tex3] a distância de [tex3]A[/tex3] à projeção ortogonal de [tex3]C[/tex3] em [tex3]AB[/tex3] .

Considere a seguinte ilustração:
Captura de tela 2022-01-19 152439.png
Captura de tela 2022-01-19 152439.png (4.29 KiB) Exibido 495 vezes
Então o perímetro do triângulo pode ser dado em função de [tex3]x[/tex3] por
[tex3]P(x)=\sqrt{x^2+h^2}+\sqrt{(b-x)^2+h^2}[/tex3] .

Queremos encontrar o mínimo de [tex3]P(x)[/tex3] , procuremos então os pontos críticos de [tex3]P(x)[/tex3] .
[tex3]P'(x)=\frac x{\sqrt{x^2+h^2}}+\frac{x-b}{\sqrt{(b-x)^2+h^2}}=\frac{x\sqrt{(b-x)^2+h^2}+(x-b)\sqrt{x^2+h^2}}{\sqrt{x^2+h^2}\cdot\sqrt{(b-x)^2+h^2}}\\
P'(x)=0\\\iff x\sqrt{(b-x)^2+h^2}+(x-b)\sqrt{x^2+h^2}=0\\
\iff x\sqrt{(b-x)^2+h^2}=-(x-b)\sqrt{x^2+h^2}\\
\iff [x\sqrt{(b-x)^2+h^2}]^2=[-(x-b)\sqrt{x^2+h^2}]^2\\
\iff x^2[(b-x)^2+h^2]=(x-b)^2(x^2+h^2)\\
\iff x^2b^2-2bx^3+x^4+h^2x^2=x^4-2bx^3+b^2x^2+h^2x^2-2bh^2x+h^2b^2\\\iff
-2bh^2x+h^2b^2=0\\
\iff x=\frac b2[/tex3]

[tex3]P''(x)=\frac{\sqrt{x^2+h^2}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+h^2}}}{x^2+h^2}+\frac{\sqrt{(b-x)^2+h^2}-\frac{(b-x)^2}{\sqrt{(b-x)^2+h^2}}}{(b-x)^2+h^2}\\
P''(x)=\frac1{\sqrt{x^2+h^2}}-\frac{x^2}{(x^2+h^2)\sqrt{x^2+h^2}}+\frac1{\sqrt{(b-x)^2+h^2}}-\frac{(b-x)^2}{[(b-x)^2+h^2]\sqrt{(b-x)^2+h^2}}\\
P''(x)=\frac1{\sqrt{x^2+h^2}}\[1-\frac{x^2}{x^2+h^2}\]+\frac1{\sqrt{(b-x)^2+h^2}}\[1-\frac{(b-x)^2}{(b-x)^2+h^2}\]
[/tex3]

Como [tex3]h>0[/tex3] , temos que [tex3]\frac{x^2}{x^2+h^2}<1[/tex3] e [tex3]\frac{(b-x)^2}{(b-x)^2+h^2}<1[/tex3] , logo [tex3]1-\frac{x^2}{x^2+h^2}>0[/tex3] e [tex3]1-\frac{(b-x)^2}{(b-x)^2+h^2}>0[/tex3] . Portanto, [tex3]P''(x)>0[/tex3] .
Dessa forma, [tex3]P''(b/2)>0[/tex3] e [tex3]x=b/2[/tex3] é ponto de mínimo de [tex3]P(x)[/tex3] .

[tex3]x=b/2\implies AC=BC[/tex3] e portanto o triângulo é isósceles.

Espero ter ajudado.


Saudações.
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Idocrase
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Re: Geometria Euclidiana Plana

Mensagem não lidapor Idocrase » Qua 19 Jan, 2022 18:31

Mensagem não lida por Idocrase »

deOliveira escreveu: ↑
Qua 19 Jan, 2022 17:50
 Sejam [tex3]A[/tex3] , [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] os vértices do triângulo, em que o segmento [tex3]AB[/tex3] é a base.
Seja [tex3]b[/tex3] e [tex3]h[/tex3] a medida da base e da altura do triângulo respectivamente.
Seja [tex3]x[/tex3] a distância de [tex3]A[/tex3] à projeção ortogonal de [tex3]C[/tex3] em [tex3]AB[/tex3] .

Considere a seguinte ilustração:
Captura de tela 2022-01-19 152439.png

Então o perímetro do triângulo pode ser dado em função de [tex3]x[/tex3] por
[tex3]P(x)=\sqrt{x^2+h^2}+\sqrt{(b-x)^2+h^2}[/tex3] .

Queremos encontrar o mínimo de [tex3]P(x)[/tex3] , procuremos então os pontos críticos de [tex3]P(x)[/tex3] .
[tex3]P'(x)=\frac x{\sqrt{x^2+h^2}}+\frac{x-b}{\sqrt{(b-x)^2+h^2}}=\frac{x\sqrt{(b-x)^2+h^2}+(x-b)\sqrt{x^2+h^2}}{\sqrt{x^2+h^2}\cdot\sqrt{(b-x)^2+h^2}}\\
P'(x)=0\\\iff x\sqrt{(b-x)^2+h^2}+(x-b)\sqrt{x^2+h^2}=0\\
\iff x\sqrt{(b-x)^2+h^2}=-(x-b)\sqrt{x^2+h^2}\\
\iff [x\sqrt{(b-x)^2+h^2}]^2=[-(x-b)\sqrt{x^2+h^2}]^2\\
\iff x^2[(b-x)^2+h^2]=(x-b)^2(x^2+h^2)\\
\iff x^2b^2-2bx^3+x^4+h^2x^2=x^4-2bx^3+b^2x^2+h^2x^2-2bh^2x+h^2b^2\\\iff
-2bh^2x+h^2b^2=0\\
\iff x=\frac b2[/tex3]

[tex3]P''(x)=\frac{\sqrt{x^2+h^2}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+h^2}}}{x^2+h^2}+\frac{\sqrt{(b-x)^2+h^2}-\frac{(b-x)^2}{\sqrt{(b-x)^2+h^2}}}{(b-x)^2+h^2}\\
P''(x)=\frac1{\sqrt{x^2+h^2}}-\frac{x^2}{(x^2+h^2)\sqrt{x^2+h^2}}+\frac1{\sqrt{(b-x)^2+h^2}}-\frac{(b-x)^2}{[(b-x)^2+h^2]\sqrt{(b-x)^2+h^2}}\\
P''(x)=\frac1{\sqrt{x^2+h^2}}\[1-\frac{x^2}{x^2+h^2}\]+\frac1{\sqrt{(b-x)^2+h^2}}\[1-\frac{(b-x)^2}{(b-x)^2+h^2}\]
[/tex3]

Como [tex3]h>0[/tex3] , temos que [tex3]\frac{x^2}{x^2+h^2}<1[/tex3] e [tex3]\frac{(b-x)^2}{(b-x)^2+h^2}<1[/tex3] , logo [tex3]1-\frac{x^2}{x^2+h^2}>0[/tex3] e [tex3]1-\frac{(b-x)^2}{(b-x)^2+h^2}>0[/tex3] . Portanto, [tex3]P''(x)>0[/tex3] .
Dessa forma, [tex3]P''(b/2)>0[/tex3] e [tex3]x=b/2[/tex3] é ponto de mínimo de [tex3]P(x)[/tex3] .

[tex3]x=b/2\implies AC=BC[/tex3] e portanto o triângulo é isósceles.

Espero ter ajudado.
Muito obrigado.


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