Boa noite pessoal peço por favor que me ajude com essa questão.
Uma função f : X ⊂ R → R ´e dita limitada se sua imagem f(X) ´e um conjunto limitado. Neste
caso, o sup f ´e definido como o supremo do conjunto imagem, isto ´e, sup f = sup(f(X)).
Conclua que sup(f + g) ≤ sup f + sup g e inf(f + g) ≥ inf f + inf g
Ensino Superior ⇒ Supemo e Ínfimo
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Jan 2022
20
16:32
Re: Supemo e Ínfimo
[tex3]f,g:X\to \mathbb R[/tex3]
[tex3](f+g)(x)=f(x)+g(x)\le L+M[/tex3] para todo [tex3]x\in X[/tex3] , portanto [tex3](f+g)(X)[/tex3] é um conjunto limitado e portanto tem supremo.
Por definição de supremo, temos que:
[tex3]f(x)\le \sup f[/tex3] e [tex3]g(x)\le \sup g[/tex3] para qualquer [tex3]x\in X[/tex3] .
[tex3]\implies (f+g)(x)=f(x)+g(x)\le \sup f+\sup g[/tex3] para qualquer [tex3]x\in X[/tex3] .
Portanto, [tex3]\sup f+\sup g[/tex3] é uma cota superior para [tex3](f+g)(X)[/tex3] .
Como o supremo de um conjunto é a menor cota superior desse conjunto, temos que [tex3]\sup(f+g)\le\sup f+\sup g[/tex3] .
Para o ínfimo o processo é análogo.
Espero ter ajudado.
são limitadas então existem [tex3]L[/tex3]
e [tex3]M[/tex3]
reais tais que [tex3]f(x)\le L[/tex3]
e [tex3]g(x)\le M[/tex3]
para todo [tex3]x\in X[/tex3]
.[tex3](f+g)(x)=f(x)+g(x)\le L+M[/tex3] para todo [tex3]x\in X[/tex3] , portanto [tex3](f+g)(X)[/tex3] é um conjunto limitado e portanto tem supremo.
Por definição de supremo, temos que:
[tex3]f(x)\le \sup f[/tex3] e [tex3]g(x)\le \sup g[/tex3] para qualquer [tex3]x\in X[/tex3] .
[tex3]\implies (f+g)(x)=f(x)+g(x)\le \sup f+\sup g[/tex3] para qualquer [tex3]x\in X[/tex3] .
Portanto, [tex3]\sup f+\sup g[/tex3] é uma cota superior para [tex3](f+g)(X)[/tex3] .
Como o supremo de um conjunto é a menor cota superior desse conjunto, temos que [tex3]\sup(f+g)\le\sup f+\sup g[/tex3] .
Para o ínfimo o processo é análogo.
Espero ter ajudado.
Saudações.
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