Boa noite pessoal peço por favor que me ajude com essa questão.
Uma função f : X ⊂ R → R ´e dita limitada se sua imagem f(X) ´e um conjunto limitado. Neste
caso, o sup f ´e definido como o supremo do conjunto imagem, isto ´e, sup f = sup(f(X)).
Conclua que sup(f + g) ≤ sup f + sup g e inf(f + g) ≥ inf f + inf g
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Ensino Superior ⇒ Supemo e Ínfimo
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deOliveira
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Jan 2022
20
16:32
Re: Supemo e Ínfimo
[tex3]f,g:X\to \mathbb R[/tex3]
são limitadas então existem [tex3]L[/tex3]
e [tex3]M[/tex3]
reais tais que [tex3]f(x)\le L[/tex3]
e [tex3]g(x)\le M[/tex3]
para todo [tex3]x\in X[/tex3]
.
[tex3](f+g)(x)=f(x)+g(x)\le L+M[/tex3] para todo [tex3]x\in X[/tex3] , portanto [tex3](f+g)(X)[/tex3] é um conjunto limitado e portanto tem supremo.
Por definição de supremo, temos que:
[tex3]f(x)\le \sup f[/tex3] e [tex3]g(x)\le \sup g[/tex3] para qualquer [tex3]x\in X[/tex3] .
[tex3]\implies (f+g)(x)=f(x)+g(x)\le \sup f+\sup g[/tex3] para qualquer [tex3]x\in X[/tex3] .
Portanto, [tex3]\sup f+\sup g[/tex3] é uma cota superior para [tex3](f+g)(X)[/tex3] .
Como o supremo de um conjunto é a menor cota superior desse conjunto, temos que [tex3]\sup(f+g)\le\sup f+\sup g[/tex3] .
Para o ínfimo o processo é análogo.
Espero ter ajudado.
[tex3](f+g)(x)=f(x)+g(x)\le L+M[/tex3] para todo [tex3]x\in X[/tex3] , portanto [tex3](f+g)(X)[/tex3] é um conjunto limitado e portanto tem supremo.
Por definição de supremo, temos que:
[tex3]f(x)\le \sup f[/tex3] e [tex3]g(x)\le \sup g[/tex3] para qualquer [tex3]x\in X[/tex3] .
[tex3]\implies (f+g)(x)=f(x)+g(x)\le \sup f+\sup g[/tex3] para qualquer [tex3]x\in X[/tex3] .
Portanto, [tex3]\sup f+\sup g[/tex3] é uma cota superior para [tex3](f+g)(X)[/tex3] .
Como o supremo de um conjunto é a menor cota superior desse conjunto, temos que [tex3]\sup(f+g)\le\sup f+\sup g[/tex3] .
Para o ínfimo o processo é análogo.
Espero ter ajudado.
Saudações.
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