Ensino Superior ⇒ Integral Tópico resolvido

[Joaquim1]

Faça um esboço e calcule a área da região do plano limitada pelos gráficos de y = x + 6, y = [tex3]x^{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{3}[/tex3]

e y = −[tex3]\frac{x}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x}{2}[/tex3]

.

[Joaquim1]

Alguem ai poderia me ajudar com essa questão? Estou a dias garrado nela.

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Você encontra facilmente na internet sites com programas que esboçam gráficos, mais nem precisa disso , a região é bastante simples para se fazer o esboço. Ficará como exercício para você


Para encontrarmos os limites de integração, basta fazer a intersecção entre as curvas , chamaremos de [tex3]y_{1} = x + 6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y_{1} = x + 6[/tex3]

, [tex3]y_{2} = x^3[/tex3]

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[tex3]y_{2} = x^3[/tex3]

e [tex3]y_{3} = - \frac{x}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y_{3} = - \frac{x}{2}[/tex3]

, daí , temos que;

[tex3]y_{1} = y_{3}[/tex3]

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[tex3]y_{1} = y_{3}[/tex3]

→

[tex3]x + 6 = - \frac{x}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x + 6 = - \frac{x}{2}[/tex3]

→ x = - 4

Logo , a primeira região a ser integrada será no intervalo [ - 4 ; 0 ].

Por outro lado,

[tex3]y_{2} = y_{1}[/tex3]

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[tex3]y_{2} = y_{1}[/tex3]

→

x³ = x + 6 → x = 2 ( Obs.1 As outras duas raízes são complexas ).

Então , a segunda região a ser integrada será no intervalo [ 0 ; 2 ].

Obs.2

Você só irá compreender essas duas regiões esboçando o gráfico.




Assim, a área total da região será dada por;

[tex3]A = \int\limits_{a}^{b}( y_{1} - y_{3} ) \ dx \ + \ \int\limits_{b}^{c}( y_{1} - y_{2} ) \ dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A = \int\limits_{a}^{b}( y_{1} - y_{3} ) \ dx \ + \ \int\limits_{b}^{c}( y_{1} - y_{2} ) \ dx[/tex3]

Aquela velha estória : A função de cima menos a função de baixo ou a função maior menos a função menor.

[tex3]A = \int\limits_{-4}^{0}[ x + 6 - \left(-\frac{x}{2}\right) ] \ dx \ + \ \int\limits_{0}^{2}( x + 6 - x^3 ) \ dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A = \int\limits_{-4}^{0}[ x + 6 - \left(-\frac{x}{2}\right) ] \ dx \ + \ \int\limits_{0}^{2}( x + 6 - x^3 ) \ dx[/tex3]

Desenvolvendo... Obtemos:

A = 12 + 10 = 22

Portanto, a área vale 22 u.a.



Excelente estudo!