Ensino Superior ⇒ Cálculo 1

[Joaquim1]

Um fabricante de caixas de papelão deseja construir caixas, sem tampa, com uma folha quadrada de papelão de 12cm de lado, cortando quadrados iguais dos quatro cantos da folha e dobrando-os para formar um paralelepípedo reto, com base retangular. Determine o comprimento do lado dos quadrados que deve-se cortar para que o volume da caixa obtida seja o maior possível.

[AlexandreHDK]

Ao cortar esses 4 quadradinhos de lado L, teremos um volume igual a
V(L) = (12 - 2L)^2.L = 144L - 48L² + 4L³
Pois temos um paralelepípedo de base quadrada de lado (12 - 2L) e altura L.
Basta analisar o comportamento de crescimento e decrescimento desta função.
V'(L) = 144 - 96L + 12L²
Que tem raízes 2 e 6.
Agora, analisando a segunda derivada:
V''(L) = -96 + 24L
Nas 2 raízes, temos que V''(2) = -48 e V"(6) = 48
Assim, temos um ponto de máximo local em L = 2 e mínimo local em L = 6, o que faz sentido, pois se os quadradinhos tivessem lado 6, o volume seria igual a zero.
Resposta: os quadradinhos devem ter lado igual a 2 cm. Isso nos dá um volume máximo de 128 cm³.