Ensino Superior

Sendo [tex3]A \subset \mathbb{R} [/tex3] , define-se [tex3]\sup A= \min \{y \in \mathbb{R}; y \geq x, \forall x \in A \}[/tex3] e [tex3]\inf A = \max \{y \in \mathbb{R}; y \leq x, \forall x \in A \}[/tex3] .

Alguém poderia dar exemplos concretos dessas definições?

Mensagem não lidapor **lusabar** » Dom 16 Jan, 2022 00:16

Exemplo de supremo: o intervalo [tex3]A= (2, 3)[/tex3] não apresenta um máximo, já que para todo [tex3]x\in(2,3)[/tex3] podemos encontrar um [tex3]y[/tex3] tal que [tex3]y>x[/tex3] . Agora, tomemos o conjunto dos majorantes de A (conjunto cujos elementos são maiores ou iguais a qualquer elemento de A), nesse caso, [tex3][3,+\infty)[/tex3] . O mínimo desse conjunto será o supremo de A, ou seja, 3.

O ínfimo pode ser encontrado de forma análoga, é o maior dos menorantes de A, nesse caso, 2. Note que, caso o intervalo fosse [tex3][2,3][/tex3] , o supremo e o ínfimos seriam os mesmos.

Mas quando [tex3]A = (2,3)[/tex3] , o supremo não seria [tex3]2[/tex3] ?

Mensagem não lidapor **lusabar** » Dom 16 Jan, 2022 00:39

Sim, seria. Nesse caso o conjunto dos majorantes também seria [tex3][3,+\infty)[/tex3] , cujo mínimo é 3. Também vale notar que, se um conjunto [tex3]A[/tex3] possui máximo, [tex3]\max A = \sup A[/tex3] , como é o caso em [tex3]\{2, 3\}[/tex3] .

Edit:

Não seria. Observe a própria definição de supremo que vc utilizou no post original. O supremo é o mínimo do conjunto ([tex3]B[/tex3] ) dos [tex3]y[/tex3] tais que [tex3]y\geqslant x[/tex3] para todo [tex3]x\in A[/tex3] . Veja que [tex3]2[/tex3] não pertence ao conjunto [tex3]B[/tex3] (não é majorante de [tex3]A[/tex3] ), pois podemos encontrar um elemento de [tex3]A[/tex3] que é maior que [tex3]2[/tex3] ([tex3]2,1[/tex3] , por exemplo). Dessa forma, [tex3]2[/tex3] não é o supremo de [tex3]A[/tex3] .

Mensagem não lidapor **lusabar** » Dom 16 Jan, 2022 01:15

Um número [tex3]x[/tex3] é dito majorante (também é conhecido como cota superior) de um conjunto [tex3]A[/tex3] quando [tex3]x\geqslant y[/tex3] para todo [tex3]y\in A[/tex3] (por exemplo, o número [tex3]6[/tex3] é majorante do conjunto [tex3](-1, 0)[/tex3] ).

goncalves3718 escreveu: ↑
Dom 16 Jan, 2022 00:49
Nesse caso o supremo não poderia ser 3 , já que não há nenhum número maior do que 3 no intervalo?

Essa afirmação está correta, mas incompleta. Também não há nenhum número maior que [tex3]5[/tex3] no intervalo, mas [tex3]5[/tex3] não é o supremo desse conjunto. O supremo deve satisfazer duas condições:
[tex3](i)[/tex3] Ser maior ou igual a todos os números do conjunto
[tex3](ii)[/tex3] Ser o menor dentre os números que satisfazem a condição [tex3](i)[/tex3] , ou seja, deve ser o menor dos majorantes

Para o intervalo [tex3](2, 3)[/tex3] só há um número que satisfaz as duas condições, o [tex3]3[/tex3] .

Uma dúvida: no intervalo [tex3](2,3)[/tex3] o [tex3]3[/tex3] não faz parte, já que ele é aberto em [tex3]3[/tex3] , então porque [tex3]3[/tex3] é o supremo?

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