Ensino Superior

Mensagem não lidapor **Hollo** » Sáb 15 Jan, 2022 10:55 · Mensagem não lida por **Hollo** » Sáb 15 Jan, 2022 10:55

Calcule o volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada pelas curvas dadas gira ao redor do eixo x:
a) x=2y-[tex3]y^{2}[/tex3] , x=0
b) [[tex3]\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{y^2} = \sqrt[3]{a^2}[/tex3] , primeiro quadrante.

Resposta

a) [tex3]\frac{8π }{3}[/tex3] b) [tex3]\frac{16πa^3}{105}[/tex3]

Hollo escreveu: ↑
Sáb 15 Jan, 2022 10:55
a) x = 2y - y² , x=0

Observe

Solução:

Ah, então você quer pelo método da arruela. x = 2y - y²

hummm! Deixa eu ver aqui...

... Que tal nós melhorarmos essa função!?

y² - 2y = - x

y² - 2y + 1 = 1 - x

( y - 1 )² = 1 - x

y = 1 ± √( 1 - x )

Agora esboce o gráfico ( das curvas ) , lembre-se da limitação de x = 0. Feito isso , você irá perceber que os limites de integração são a = x = 0 e b = x = 1 , ou seja , o intervalo de integração é [ 0 , 1 ]. Sendo assim , temos que o volume será dado por

[tex3]V = π\int\limits_{a}^{b}\{ [f(x)]^2 \ - \ [g(x)]^2\}dx[/tex3]

Obs.1

f(x) = y = 1 + √( 1 - x) → alguns professores chamam função maior , eu particularmente chamo "função de cima".

g(x) = y = 1 - √( 1 - x ) função menor. Eu particularmente chamo "função de baixo" ou "função que está abaixo".

Então,

[tex3]V = π\int\limits_{0}^{1}[(1+\sqrt{1-x})^2 \ - \ (1-\sqrt{1-x})^2]dx[/tex3]

Desenvolvendo... resulta,

[tex3]V = 4π\int\limits_{0}^{1}\sqrt{1-x} \ dx[/tex3]

[tex3]V = 4π.\frac{2}{3}.[-\sqrt{(1-x)^3} ]^{1}_{0}[/tex3]

Portanto,

[tex3]V = \frac{8π}{3}[/tex3] u.v.

Obs.2

A b) ficará como exercício para você

Excelente estudo!

Ensino Superior ⇒ Volume (MÉTODO DA ARRUELA) Tópico resolvido

Volume (MÉTODO DA ARRUELA)

Re: Volume (MÉTODO DA ARRUELA)

Ensino Superior ⇒ Volume (MÉTODO DA ARRUELA) Tópico resolvido

Volume (MÉTODO DA ARRUELA)

Re: Volume (MÉTODO DA ARRUELA)

Entrar • Registrar