Derivada
Enviado: Sex 14 Jan, 2022 17:18
Um ponto move-se sobre uma semicircunferência [tex3]x^{2} + y^{2}[/tex3]
= 5, y ≥ 0. Determine o ponto da curva em que a velocidade de y seja o dobro da velocidade em x.
Vamos assumir uma parametrização bem simples. Para isso, basta utilizarmos coordenadas polares:
[tex3]r(t) = (x(t),y(t)) = (5 cos(t), 5 sen (t)), 0 \leq t \leq\pi[/tex3]
Nessa parametrização, podemos achar a velocidade:
[tex3]v(t) = \frac{dr}{dt} = (-5 sen(t), 5 cos(t)) = \left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)[/tex3]
Assim, a velocidade em y vale [tex3]v_y(t) = 5cos(t)[/tex3]
e a velocidade em x vale [tex3]v_x(t) = -5sen(t)[/tex3]
Deseja-se encontrar em que ponto [tex3]\frac{v_y}{v_x} = 2[/tex3]
:
[tex3]\frac{-5cos(t)}{5sen(t)} = 2 \Rightarrow 5cos(t) = 2(-5sen(t)) \Rightarrow x(t) = -2y(t)[/tex3]
Agora podemos encontrar este ponto voltando pra equação inicial:
[tex3](-2y)^2+y^2=5 \Rightarrow 5y^2=5 \Rightarrow y = 1[/tex3]
([tex3]y \geq 0[/tex3]
é condição do problema)
[tex3]x = -2y = -2[/tex3]
E assim, encontramos o ponto que satisfaz essa condição: (x,y) = (-2,1)