Ensino Superior ⇒ Indução Matemática Tópico resolvido

[Idocrase]

Demonstre, por indução, a validade da seguinte fórmula:

2 + 5 + 8 + ... + (2 + 3n) = (n+1)(4 + 3n)/2

Eu não sei onde eu errei, mas no final eu cheguei que 3n² + 13n + 10 = 3n² + 11n + 10. Alguém me ajuda por favor?

[goncalves3718]

Sendo [tex3]n=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n=1[/tex3]

:

[tex3]2+ (2+3\cdot 1) = \dfrac{(1+1)(4+3\cdot 1)}{2} \implies 2+5 = \dfrac{2\cdot 7}{2} \implies 7 = 7[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2+ (2+3\cdot 1) = \dfrac{(1+1)(4+3\cdot 1)}{2} \implies 2+5 = \dfrac{2\cdot 7}{2} \implies 7 = 7[/tex3]

(VERDADE)

Sendo [tex3]n=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n=2[/tex3]

, também verificamos a validade da igualdade, podemos então tentar provar a nossa hipótese para todo número natural [tex3]n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n[/tex3]

Hipótese de indução ([tex3]n=k)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n=k)[/tex3]

[tex3]2+5+ ...+ (2+3k) = \dfrac{(k+1)(4+3k)}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2+5+ ...+ (2+3k) = \dfrac{(k+1)(4+3k)}{2}[/tex3]

Para [tex3]n = k+1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n = k+1[/tex3]

[tex3]2+5+...+ (2+3k)+ [2+3(k+1)] = \dfrac{(k+2)[4+3(k+1)]}{2} \implies \dfrac{(k+1)(4+3k)}{2} + 2+3k+3 = \dfrac{(k+2)(4+3k+3)}{2} \implies[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2+5+...+ (2+3k)+ [2+3(k+1)] = \dfrac{(k+2)[4+3(k+1)]}{2} \implies \dfrac{(k+1)(4+3k)}{2} + 2+3k+3 = \dfrac{(k+2)(4+3k+3)}{2} \implies[/tex3]

[tex3]2+3k+3 = \dfrac{(k+2)(4+3k+3)}{2} - \dfrac{(k+1)(4+3k)}{2} \implies 3k+5 = \dfrac{4k+3k^2+3k+8+6k+6}{2} - \dfrac{4k+3k^2+4+3k}{2}\implies [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2+3k+3 = \dfrac{(k+2)(4+3k+3)}{2} - \dfrac{(k+1)(4+3k)}{2} \implies 3k+5 = \dfrac{4k+3k^2+3k+8+6k+6}{2} - \dfrac{4k+3k^2+4+3k}{2}\implies [/tex3]

[tex3]3k+5 = \dfrac{3k^2+13k+14}{2} - \dfrac{3k^2+7k+4}{2} \implies 3k+5 = \dfrac{6k+10}{2} \implies 3k+5 = 3k+5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3k+5 = \dfrac{3k^2+13k+14}{2} - \dfrac{3k^2+7k+4}{2} \implies 3k+5 = \dfrac{6k+10}{2} \implies 3k+5 = 3k+5[/tex3]

Logo, a hipótese de indução foi provada : )
Caso não tenha entendido alguma parte pode falar!

[goncalves3718]

Sendo [tex3]n=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n=1[/tex3]

:

[tex3]2+ (2+3\cdot 1) = \dfrac{(1+1)(4+3\cdot 1)}{2} \implies 2+5 = \dfrac{2\cdot 7}{2} \implies 7 = 7[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2+ (2+3\cdot 1) = \dfrac{(1+1)(4+3\cdot 1)}{2} \implies 2+5 = \dfrac{2\cdot 7}{2} \implies 7 = 7[/tex3]

(VERDADE)

Sendo [tex3]n=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n=2[/tex3]

, também verificamos a validade da igualdade, podemos então tentar provar a nossa hipótese para todo número natural [tex3]n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n[/tex3]

Hipótese de indução ([tex3]n=k)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n=k)[/tex3]

[tex3]2+5+ ...+ (2+3k) = \dfrac{(k+1)(4+3k)}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2+5+ ...+ (2+3k) = \dfrac{(k+1)(4+3k)}{2}[/tex3]

Para [tex3]n = k+1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n = k+1[/tex3]

[tex3]2+5+...+ (2+3k)+ [2+3(k+1)] = \dfrac{(k+2)[4+3(k+1)]}{2} \implies \dfrac{(k+1)(4+3k)}{2} + 2+3k+3 = \dfrac{(k+2)(4+3k+3)}{2} \implies[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2+5+...+ (2+3k)+ [2+3(k+1)] = \dfrac{(k+2)[4+3(k+1)]}{2} \implies \dfrac{(k+1)(4+3k)}{2} + 2+3k+3 = \dfrac{(k+2)(4+3k+3)}{2} \implies[/tex3]

[tex3]2+3k+3 = \dfrac{(k+2)(4+3k+3)}{2} - \dfrac{(k+1)(4+3k)}{2} \implies 3k+5 = \dfrac{4k+3k^2+3k+8+6k+6}{2} - \dfrac{4k+3k^2+4+3k}{2}\implies [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2+3k+3 = \dfrac{(k+2)(4+3k+3)}{2} - \dfrac{(k+1)(4+3k)}{2} \implies 3k+5 = \dfrac{4k+3k^2+3k+8+6k+6}{2} - \dfrac{4k+3k^2+4+3k}{2}\implies [/tex3]

[tex3]3k+5 = \dfrac{3k^2+13k+14}{2} - \dfrac{3k^2+7k+4}{2} \implies 3k+5 = \dfrac{6k+10}{2} \implies 3k+5 = 3k+5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3k+5 = \dfrac{3k^2+13k+14}{2} - \dfrac{3k^2+7k+4}{2} \implies 3k+5 = \dfrac{6k+10}{2} \implies 3k+5 = 3k+5[/tex3]

Logo, a hipótese de indução foi provada : )
Caso não tenha entendido alguma parte pode falar!

Peço desculpas pelo equívoco. A prova não está correta, já que eu só desenvolvi os membros da igualdade.
Vamos lá:

Para [tex3]n=k[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n=k[/tex3]

, temos:

[tex3]2+5+ ...+ (2+3k) = \dfrac{(k+1)(4+3k)}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2+5+ ...+ (2+3k) = \dfrac{(k+1)(4+3k)}{2}[/tex3]

e queremos provar que quando [tex3]n=k+1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n=k+1[/tex3]

, a soma [tex3]2+5+...+ (2+3k)+ [2+3(k+1)] = \dfrac{(k+2)[4+3(k+1)]}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2+5+...+ (2+3k)+ [2+3(k+1)] = \dfrac{(k+2)[4+3(k+1)]}{2}[/tex3]

.
Vamos lá!!

[tex3]2+5 + ... (2+3k) + [2+3(k+1)] = \dfrac{(k+1)(4+3k)}{2} + 3k + 5= \dfrac{(k+1)(4+3k)+ 6k+10}{2} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2+5 + ... (2+3k) + [2+3(k+1)] = \dfrac{(k+1)(4+3k)}{2} + 3k + 5= \dfrac{(k+1)(4+3k)+ 6k+10}{2} [/tex3]

Fazendo a distributiva:

[tex3]\dfrac{4k+3k^2+4+3k+6k+(4+6)}{2} = \dfrac{4k+3k^2+3k +6k+(4+4) + 6}{2} = \dfrac{k(4+3k+3)+ 2(3k+4+3)}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\dfrac{4k+3k^2+4+3k+6k+(4+6)}{2} = \dfrac{4k+3k^2+3k +6k+(4+4) + 6}{2} = \dfrac{k(4+3k+3)+ 2(3k+4+3)}{2}[/tex3]

Agrupando:

[tex3]\dfrac{(4+3k+3)(k+2)}{2} = \dfrac{(4+3(k+1))(k+2)}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\dfrac{(4+3k+3)(k+2)}{2} = \dfrac{(4+3(k+1))(k+2)}{2}[/tex3]

, como queríamos provar.